Poglavlje 9
DVODIMENZIONALNI
SLUČAJNI VEKTOR

Pojam slučajne varijable generalizira se za dvije i n varijabli. U ovom poglavlju posebno će se obraditi diskretni dvodimenzionali slučajni vektor. Pojam n-dim slučajnog vektora važan je za definiciju slučajnog uzorka.

Definicija 9.1 (n-dim SLUČAJNI VEKTOR, engl. random vector)

Neka su su X1 : Ω , X2 : Ω ,..., Xn : Ω slučajne varijable definirane na vjerojatnosnom prostoru ,F,P). Funkciju (X1,X2,...,Xn) : Ω n zovemo n-dim slučajni vektor ako vrijedi x1,x2,...,xn ,

{ω ∈ Ω : X1 (ω) ≤ x1,X2(ω) ≤ x2,...,Xn (ω ) ≤ xn } ⊂ F

i označavamo (X1,X2,...,Xn)(ω) = (X1(ω),X2(ω),...,Xn(ω)), ω Ω.

Definicija 9.2 (FUNKCIJA DISTRIBUCIJE n-dim SLUČAJNOG VEKTORA, engl. distribution function of random vector)

Neka je (X1,X2,...,Xn) : Ω n n-dim diskretni slučajni vektor. Funkciju F : n definiranu na sljedeći način:

F (x1,x2,...,xn ) := P(X1 ≤ x1,...,Xn  ≤ xn)

zovemo funkcija distribucije diskretnog n-dim slučajnog vektora (X1,X2,..,Xn).

9.1 DISKRETNI DVODIMENZIONALNI
SLUČAJNI VEKTOR

MOTIV 9.1

Promatramo slučajni pokus bacanje 2 igraće kocke i slučajnu varijablu X = suma brojeva koji su pali i slučajnu varijablu Y = broj 1 ako su pali jednaki brojevi, inače 0. (a) Nadite funkciju vjerojatnosti slučajnog vektora (X,Y ). (b)Izračunajte vjerojatnost da je zbroj brojeva koji su pali veći od 3 a manji ili jednak 6 i da su pali isti brojevi? (c) Jesu li X i Y nezavisne varijable? (d) Izračunajte kovarijancu. (e) Jesu li X i Y korelirane varijable?

Definicija 9.3 DISKRETNI n-dim SLUČAJNI VEKTOR

Ako su slučajne varijable X1, X2,...,Xn diskretne slučajne varijable, onda za slučajni vektor (X1,X2,...,Xn) kažemo da je diskretni n-dim slučajni vektor.

Definicija 9.4 (FUNKCIJA VJEROJATNOSTI n-dim SLUČAJNOG
VEKTORA, engl. probability function of random vector)

Neka je (X1,X2,...,Xn) : Ω n n-dim diskretni slučajni vektor. Funkciju f : n definiranu na sljedeći način:

                 {
                    P(X1 =  x1,X2 = x2,...Xn = xn ),  (x1,...,xn ) ∈ R (X1,X2, ...,Xn ),
f(x1,x2,...,xn) :=                 0,                inaˇce

zovemo funkcija vjerojatnosti diskretnog n-dim slučajnog vektora (X1,X2,...,Xn).

Definicija 9.5 DISKRETNI 2-dim SLUČAJNI VEKTOR

Ako su slučajne varijable X i Y diskretne slučajne varijable, onda za slučajni vektor (X,Y ) kažemo da je diskretni dvodimenzionalni slučajni vektor.

Definicija 9.6 (FUNKCIJA VJEROJATNOSTI diskretnog 2-dim SLUČAJNOG
VEKTORA)

Neka su X : Ω , Y : Ω diskretne slučajne varijable sa slikama R(X) = {x1,x2,...}, R(Y ) = {y1,y2,...} Funkciju f : 2 definiranu na sljedeći način:

         {
f(x,y) :=    P (X  = xi,Y = yj), x = xi ∈ R (X ), y = yj ∈ R (X ),
                    0,         inaˇce

zovemo funkcija vjerojatnosti diskretnog 2-dim slučajnog vektora (X,Y ).

T: SVOJSTVA funkcije vjerojatnosti slučajne varijable X.
(i) 0 f(xi,yj) 1,
(ii) i=1 j=1f(xi,yj) = 1.

Dokaz: tko želi znati više

(i) Za (xi,yj) 2, P(X = xi,Y = yj) = P({ω : X(ω) = xi,Y (ω) = yj})

  0 f(xi,yi) 1.
(ii) Za (xi,yj)(xk,yl) 

{ω : X(ω) = xi,Y (ω) = yj} {ω : X(ω) = xk,Y (ω) = yl} = ,
svojstvo (ii) slijedi prema svojstvu (P3), prebrojive aditivnosti funkcije P:

∞∑  ∑∞            ∞∑  ∑∞
      f (xi,yj) =       P (X = xi,Y =  yj) = P (Ω) = 1.
i=1 j=1           i=1 j=1

NAPOMENA 9.1 Diskretni 2-dim slučajni vektor je zadan sa svojom slikom R((X,Y )) = {(xi,yj),i = 1,...;j = 1,...} i funkcijom vjerojatnosti f slučajne varijable, vrijednostima {f(xi,yj),i = 1,...;j = 1,...}.
U literaturi se zato može naći zapis slučajnog vektora (X,Y ) kao uredene sheme:

         (                          )
           X∕Y   y    y   ...  y    ...
         |        1    2       j    |
         ||  x1   p11  p12     p1j  ...||
         ||  x2   p21          p2j   ||
(X,Y ) ~ ||                          ||
         ||  ...                      ||
         (  xi   pi1          pij   )
            ...                ...  ...

gdje su pij = f(xi,yj), i,j ∈{1,2,...}.

PRIMJER 9.1 Neka je ,P(Ω),P) diskretni vjerojatnosni prostor slučajnog pokusa bacanje igraće kocke. Ω = {ω123,...,ω6}, P({ωi}) = 16, i = 1,..,6.
Neka je X : Ω slučajna varijabla definirana na sljedeći način: X = broj koji je pao.
Neka je Y : Ω slučajna varijabla definirana na sljedeći način: Y = 1 ako je pao paran broj veći od 3, inače 0.
X je slučajna varijabla. Slika slučajne varijable je skup R(X) = {1,2,3,4,5,6}.
Y je slučajna varijabla. Slika slučajne varijable je skup R(Y ) = {0,1}.
Naći funkciju vjerojatnosti slučajnog vektora (X,Y ).

Rješenje: Funkcija vjerojatnosti slučajne varijable X je f : 2

            {
               P(X  = xi,Y = yj), x = xi ∈ R(X ),y = yj ∈ R (Y)
f(x,y)  :=
            (          0,         inaˇce.
            |  1,  x = xi ∈ {4,6},y = yj ∈ {1 }
            {  61
        =   |(  6,  x = xi ∈ {1,2,3,5},y = yj ∈ {0}
               0,  ina ˇce.

Slučajni vektor (X,Y) možemo za zadati s

         (            )
           X ∕Y  0   1
         ||   1    16  0||
         ||   2    1  0||
         ||        61   ||
(X, Y) ~ ||   3    6  0||
         ||   4   0   16||
         |        1   |
         (   5    6  0)
             6   0   16

PRIMJER 9.2 Neka je (X,Y) slučajni vektor za slučajni pokus izbora dva broja iz {1,2,3}, pri čemu je X= prvi izabrani broj, Y= izabrani broj nije manji od prvog. Naći funkciju vjerojatnosti slučajnog vektora.

Rješenje:

         (               )
         | X ∕Y  1   2  3|
         ||   1    19  19  19||
(X, Y) ~ |   2   0   1  1| .
         (           6  61)
             3   0   0  3

Definicija 9.7 (FUNKCIJA DISTRIBUCIJE DISKRETNOG 2-dim
SLUČAJNOG VEKTORA)

Neka je (X,Y ) : Ω 2 diskretni 2-dim slučajni vektor sa slikom R((X,Y )) = {(xi,yj),i = 1,...;j = 1,...}. Funkciju F : 2 definiranu na sljedeći način:

                             ∑    ∑
F (x,y) := P (X ≤ x,Y ≤  y) =           f(xi,yj)
                            i:xi≤xj:yj≤y

zovemo funkcija distribucije diskretnog 2-dim slučajnog vektora (X,Y ).

T: SVOJSTVA funkcije distribucije diskretnog 2-dim slučajnog vektora:
(F1) limx→-∞,y→-∞F(x,y) = F(-∞,-∞) = 0

limx→-∞F(x,y) = F(-∞,y) = 0

limy→-∞F(x,y) = F(x,-∞) = 0
(F2) limx→∞,y→∞F(x,y) = F(,) = 1
(F3) 0 F(x,y) 1
(F4)

P (a1 < X ≤ b1,a2 < Y ≤ b2) = F(b1,b2) - F(a1,b2)- F (b1,a2)+ F (a1,a2),

a1,b1,a2,b2 ,  a1 < b1, a2 < b2.
(F6) F je rastuća funkcija po svakoj varijabli.

Dokaz: tko želi znati više
(F1) Kako je dogadaj X ≤-∞,Y ≤-∞ nemoguć dogadaj

F (- ∞, - ∞ ) := P (X ≤ - ∞, Y ≤ - ∞ ) = P(∅) = 0.
                       ⋂               ⋂
F (- ∞, y) = P (X ≤ - ∞   Y ≤ y ) = P (∅  Y ≤ y) = P(∅) = 0.
(F2) Budući je dogadaj X ≤∞,Y ≤∞ siguran dogadaj, onda je
F(∞, ∞ ) = P (Ω ) = 1.

(F3) tvrdnja slijedi iz svojstava (F1) i (F2).
(F4) Neka su a,b ,a1 < b1,a2 < b2. Računamo

P (a1 < X ≤ b1,a2 < Y ≤ b2)

                =  P (a1 < X ≤ b1,Y ≤  b2) - P(a1 < X ≤  b1,Y  ≤ a2)
                =  (F (b1,b2) - F(a1,b2))- (F(b1,a2)- F (a1,a2)).

(F6) Neka su a1,b1 ,a1 < b1.

P (a  < X  ≤ b ,Y ≤ y)  =  F (b ,y)- F (a ,y) - F(b ,- ∞ )+ F (a ,- ∞ )
    1        1                1         1        1            1
                       =  F (b1,y)- F (a1,y) ≥ 0.

Iz svojstva (F5) slijedi da je F(a1,y) F(b1,y), funkcija je rastuća po prvoj varijabli.

PRIMJER 9.3 Za slučajni vektor (X,Y ) iz primjera zadan s

         (            )
         | X ∕Y   0  1|
         ||   1    16  0||
         |   2    1  0|
         ||        61   ||
(X, Y ) ~ ||  3    6  0||
         ||   4    0  16||
         |(   5    1  0|)
                  6  1
             6    0  6

odredite vrijednost funkcije distribucije F(1,0), F(1,1),F(2,0),F(2,1),F(4,0). Izračunajte vjerojatnost P(1 < X 2,0 < Y 1) i P(1 < X 4,Y 0).

Rješenje:

                             ∑    ∑
F (x,y) = P(X ≤  x,Y ≤ y) =           f(xi,yj)
                            i:xi≤x j:yj≤y

F(1,0) = f(1,0) = p11 = 1
6,
F(1,1) = f(1,0) + f(1,1) = p11 + p12 = 16,
F(2,0) = f(1,0) + f(2,0) = p11 + p21 = 2
6,
F(2,1) = f(1,0) + f(1,1) + f(2,0) + f(2,1) = p11 + p12 + p21 + p22 = 2
6,
F(4,0) = f(1,0) + f(2,0) + f(3,0) + f(4,0) = p11 + p21 + p31 + p41 = 3
6.
Koristimo formule

P(a1 < X ≤ b1,a2 < Y ≤ b2) = F(b1,b2)- F (a1,b2) - F(b1,a2)+ F (a1,a2)
P(a1 < X b1,Y b2) = F(b1,b2) - F(a1,b2)
P (1 < X ≤ 2,0 < Y ≤  1) =   F(2,1) - F(1,1)- F (2,0)+ F (1,0)
                         =   2-- 1-- 2-+ 1-= 0.
                             6   6   6   6
P(1 < X  ≤ 4,Y ≤ 0) = F(4,0) - F(1,0) = 3-- 1-= 2-.
                                        6   6   6

ili
P(1 < X 2,0 < Y 1) = P() = 0,
P(1 < X 4,Y 0) = P({ω2}) + P({ω3}) = 1
6 + 1
6 = 2
6.

PRIMJER 9.4 Bacimo istovremeno dva novčića od 1 kune i od 5 kuna. Neka su X i Y slučajne varijable definirane:

X=1 ako je pao slavuj, inače 0

Y= 1 ako je pao medo, inače 0.
Promatramo slučajni vektor (X,Y). Napišite funkciju vjerojatnosti slučajnog vektora. Odredite F(1,1), P(0 < X 1,0 < Y 1) i P(0 < X 1,Y 0).

Rješenje: R(X) = {0,1}, R(Y ) = {0,1}.
R((X,Y )) = {(xi,yj),i = 1,2;j = 1,2} = {(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)}.

         {  1
f(x,y) :=   4, x = xi ∈ {0,1},y = yj ∈ {0,1}
            0, inaˇce.

(X,Y ) ~(           )
  X∕Y   0  1
|(  0    1  1|)
        41  41
   1    4  4,    f(0,0) = f(1,0) = f(0,1) = f(1,1) = 1
4.

                             ∑    ∑
F (x, y) := P(X ≤ x,Y ≤  y) =          f (xi,yj)
                            i:xi≤xj:yj≤y

F(0,0) = f(0,0) = p11 = 1
4
F(0,1) = f(0,0) + f(0,1) = p11 + p12 = 1
4 + 1
4 = 1
2.
F(1,0) = f(0,0) + f(1,0) = p11 + p21 = 14 + 14 = 12
F(1,1) = f(0,0) + f(0,1) + f(1,0) + f(1,1) = p11 + p12 + p21 + p22 = 1
Koristimo formule

P(a1 < X ≤ b1,a2 < Y ≤ b2) = F(b1,b2)- F (a1,b2) - F(b1,a2)+ F (a1,a2)
P(a1 < X b1,Y b2) = F(b1,b2) - F(a1,b2)
P (0 < X ≤ 1,0 < Y ≤  1) =   F(1,1) - F(0,1)- F (1,0)+ F (0,0)
                                 1   1   1   1
                         =   1-  --  -+  --= -.
                                 2   2   4   4
P(0 < X  ≤ 1,Y ≤ 0) = F(1,0) - F(0,0) = 1-- 1-= 1-.
                                        2   4   4

ili
P(0 < X 1,0 < Y 1) = P({(s,m)}) = 1
2 1
2 = 1
4,
P(0 < X 1,Y 0) = P({s,5}}) = 1
2 1
2 = 1
4.

PRIMJER 9.5 motiv

Promatramo slučajni pokus bacanje 2 igraće kocke i slučajnu varijablu X = suma brojeva koji su pali i slučajnu varijablu Y = broj 1 ako su pali jednaki brojevi, inače 0. (a) Nadite funkciju vjerojatnosti slučajnog vektora (X,Y ). (b) Izračunajte vjerojatnost da je zbroj brojeva koji su pali veći od 3 a manji ili jednak 6 i da su pali isti brojevi?

Rješenje: (a) (X,Y ) ~(              )
  X ∕Y   0   1
|            1 |
||   2    0   36||
||   3    236  0 ||
||        2-  1-||
||   4    36  36||
|   5    436  0 |
||   6    4-  1-||
||        366  36||
||   7    36  0 ||
||   8    436  136||
||   9    4-  0 ||
|        326  1-|
||  10    36  36||
|(  11    236  0 |)
   12    0   1-
             36

(b) P(3 < X 6,Y = 1) = f(4,1) + f(5,1) + f(6,1) = 1-
36 + 0 + 1-
36 = 2-
36.

Definicija 9.8 (MARGINALNA FUNKCIJA VJEROJATNOSTI
komponenata 2-dim SLUČAJNOG VEKTORA, engl. marginal distribution)

Neka je (X,Y ) : Ω 2 diskretni 2-dim slučajni vektor sa slikom R((X,Y )) = {(xi,yj),i = 1,...;j = 1,...} i funkcijom vjerojatnosti
f : 2 [0,1]

         {
            P(X  = xi,Y = yj), (x,y) = (xi,yj) ∈ R ((X, Y ))
f(x,y) :=
                    0,         inaˇce.


Funkciju f1(x) = f(X = x,Y = proizvoljno) = jf(x,yj),  zovemo
marginalna funkcija vjerojatnosti komponente X slučajnog vektora (X,Y ).
Funkciju f2(y) = f(X = proizvoljno,Y = y) = if(xi,y) zovemo
marginalna funkcija vjerojatnosti komponente Y slučajnog vektora (X,Y ).

(                                               )
  X ∕Y    y1    y2   ...   yj    ...     f∑1(x)
||  x1     p11   p12  ...   p1j   ...       j p1j  ||
||  x      p               p     ...     ∑  p     ||
||   2      21              2j            j 2j   ||
||  ...     ...              ...           ∑ ...     ||
||  xi     pi1             pij             j pij  ||
|                                               |
(  ...   ∑ ...    ...     ∑ ...    ... ∑   ∑ ...     )
  f2(y)    ipi1  ...       ipij        i  j pij = 1

PRIMJER 9.6 U prethodnim primjerima slučajnih vektora odredite marginalne funkcije vjerojatnosti komponenti X i Y slučajnog vektora (X,Y ).

Rješenje:
(a) (                  )
| X ∕Y  0   1  f1(x )|
||   1    16  0    16 ||
||   2    1  0    1 ||
||        61       61 ||
|   3    6  0    6 |
||   4   0   16    16 ||
||   5    1  0    1 ||
||        6  1    61 ||
(   6   0   6    6 )
  f2(y)  46  26    1, X ~(                  )
  1  2  3  4  5   6
  16  16  16  16   16  16, Y ~(       )
   0  1
   46  26

(b) (                        )
| X ∕Y   1   2   3  f1(x)|
||   1    19   19   19    618 ||
|   2    0   1   1    6- |
||            6   61    168 ||
(   3    0   0   3    18 )
  f2(y)  218-  518-  1118-   1 (c) (                   )
  X ∕Y   0  1  f1(x)
||        1  1    1  ||
|   0    4  4    2  |
|(   1    14  14    12  |)
  f2(y)  1  1    1
         2  2

(d) (                    )
  X ∕Y   0   1  f1(x)
|            1-   1- |
||   2    0   36    36 ||
||   3    236-  0    236 ||
||   4    2-  1-   3- ||
||        364-  36    346 ||
||   5    36   0    36 ||
|   6    436-  136-   536 |
||   7    6-  0    6- ||
||        364   1    356 ||
||   8    36-  36-   36 ||
||   9    436-  0    436 ||
|  10    2-  1-   3- |
||        362   36    326 ||
||  11    36-  0    36 ||
|(  12    0   1-   1- |)
         30-  366-   36
  f2(y)  36   36    1

Definicija 9.9 (MARGINALNA FUNKCIJA DISTRIBUCIJE
VJEROJATNOSTI komponenata 2-dim SLUČAJNOG VEKTORA, engl. marginal distribution)

Neka je (X,Y ) : Ω 2 diskretni 2-dim slučajni vektor sa slikom R((X,Y )) = {(xi,yj),i = 1,...;j = 1,...} i funkcijom distribucije vjerojatnosti F : 2 [0,1]

                             ∑    ∑
F (x,y) := P (X ≤ x,Y ≤  y) =           f(xi,yj)
                            i:xi≤xj:yj≤y

Funkciju F1(x) := F(x,) = P(X x,-∞ < Y ≤∞) = uxf1(u),  zovemo marginalna funkcija distribucije vjerojatnosti komponente X slučajnog
vektora (X,Y ).
Funkciju F2(y) := F(,y) = P(-∞ < X ≤∞,Y y) = uyf2(u) zovemo marginalna funkcija distribucije vjerojatnosti komponente Y slučajnog
vektora (X,Y ).

Definicija 9.10 (NEZAVISNE SLUČAJNE VARIJABLE 2-dim SLUČAJNOG VEKTORA, engl. independent variables)

Neka je (X,Y ) : Ω 2 2-dim slučajni vektor sa funkcijom distribucije vjerojatnosti F(x,y). Za slučajne varijable X i Y kažemo da su nezavisne ako je  za svaki (x,y)

F (x,y) = F1(x)⋅F2(y).

Neka je (X,Y ) : Ω 2 diskretni 2-dim slučajni vektor sa funkcijom vjerojatnosti f(x,y). Za slučajne varijable X i Y kažemo da su nezavisne ako je za svaki (x,y)

f(x,y) = f1(x )⋅f2(y).

Inače su X i Y zavisne.

PRIMJER 9.7 U primjerima provjeri jesu li slučajne varijable u slučajnim vektorima (X,Y) nezavisne.

Rješenje:
(a) nisu jer je npr. f(4,1)f1(4) f2(1),  f(4,1) = 1
6, f1(4) = 1
6, f2(1) = 2
6;
(b) nisu jer je npr. f(1,1)f1(1) f2(1),  f(1,1) = 19, f1(4) = 168, f2(1) = 218;
(c) jesu jer je f(xi,yj) = f1(xi) f2(yj), i,j = 1,2;
(d) nisu jer je npr. f(6,1)f1(6) f2(1),  f(6,1) =  1
36, f1(6) = 5
36,

f2(1) = -6
36.

Definicija 9.11 (OČEKIVANJE 2-dim SLUČAJNOG VEKTORA)

Neka je (X,Y ) : Ω 2 2-dim slučajni vektor i neka komponente X i Y su slučajne varijable koje imaju očekivnje E(X) i E(Y) onda se matematičko očekivanje slučajnog vektora definira s

E (X,Y ) = (E (X ),E(Y )).

Definicija 9.12 (OČEKIVANJE funkcije DISKRETNOG 2-dim SLUČAJNOG VEKTORA)

Neka je (X,Y ) : Ω 2 diskretni 2-dim slučajni vektor sa slikom R((X,Y )) = {(xi,yj),i = 1,.;j = 1,...} i funkcijom vjerojatnosti
f : 2 [0,1]

         {
f(x,y) :=   P(X  = xi,Y = yj), (x,y) = (xi,yj) ∈ R ((X, Y ))
                    0,         inaˇce.

Neka je zadana funkcija h : R2 R. Kažemo da je slučajna varijabla h(X,Y ) funkcija od slučajnog vektora (X,Y) i za nju definiramo očekivanje ako red i=1 j=1h(x i,yj)f(xi,yj) konvergira i označavamo

              ∑∞ ∑∞
E (h(X,Y )) :=       h(xi,yj)f(xi,yj).
              i=1j=1

PRIMJER 9.8 E(X Y ) = i=1 j=1x i yjf(xi,yj) za h(x,y) = x y.

PRIMJER 9.9 Ako su X i Y nezavisne slučajne varijable onda je

E (X ⋅Y ) = E (X )⋅E (Y),

jer

              ∞∑  ∑∞                 ∑∞ ∑∞
E (X  ⋅Y)  =         xi ⋅yjf(xi,yj) =        xi ⋅yjf1(xi) ⋅f2(yj)
              i=1 j=1                i=1j=1
              ∞∑           ∑∞
          =      xif1(xi) ⋅   yjf2(yj) = E (X )⋅E (Y ).
              i=1          j=1

PRIMJER 9.10 Ako je (X1,X2,...,Xn) n-dim slučajni vektor i sve varijable nezavisne onda

E (X1 ⋅X2 ⋅...⋅Xn ) = E (X1 )⋅E (X2) ⋅...⋅E (Xn ).

PRIMJER 9.11 E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) za h(x,y) = x + y.

PRIMJER 9.12 Ako je (X1,X2,...,Xn) n-dim slučajni vektor onda

E (X1 + X2 + ...+ Xn ) = E (X1 )+ E (X2) + ...+ E (Xn).

PRIMJER 9.13 Neka je (X,Y )  diskretni 2-dim slučajni vektor takav da Y ne poprima vrijednost 0. Odredi E(sinX-
Y).

Rješenje: h(x,y) = sinx
y

            ∞   ∞                    ∞  ∞
      X-    ∑  ∑                    ∑  ∑      xi
E (sin Y ) =       h (xi,yj)f(xi,yj) =       sin yjf(xi,yj)
            i=1 j=1                  i=1 j=1

9.2 KONTINUIRANI 2-dim SLUČAJNI VEKTOR

tko želi znati više

MOTIV 9.2 Mladić i djevojka su dogovorili sastanak na trgu u 12 sati. Čekat će se najdulje 20 minuta nakon dolaska. Kolika je vjerojatnost da se susretnu ako su oboje došli na trg od 12 do 13 sati?

Definicija 9.13 KONTINUIRANI 2-dim SLUČAJNI VEKTOR

Ako su slučajne varijable X i Y kontinuirane slučajne varijable, onda za slučajni vektor (X,Y ) kažemo da je kontinuirani dvodimenzionalni slučajni vektor.

Definicija 9.14 (FUNKCIJA GUSTOĆE VJEROJATNOSTI
kontinuiranog 2-dim SLUČAJNOG VEKTORA)

Neka su X : Ω , Y : Ω kontinuirane slučajne varijable sa slikama R(X) i R(Y ). Funkciju f : 2 definiranu na sljedeći način:
(i) 0 f(x,y)
(ii) -∞ -∞f(x,y)dxdy = 1.

zovemo funkcija gustoće vjerojatnosti kontinuiranog 2-dim slučajnog vektora (X,Y ).

Definicija 9.15 (FUNKCIJA DISTRIBUCIJE
kontinuiranog 2-dim SLUČAJNOG VEKTORA)

Neka je (X,Y ) : Ω 2 kontinuirani 2-dim slučajni vektor sa slikom R((X,Y )). Funkciju F : 2 definiranu na sljedeći način:

                            ∫    ∫
                              x    y
F (x,y) := P (X ≤ x,Y ≤  y) =  -∞  -∞ f (x, y)dxdy

zovemo funkcija distribucije kontinuiranog 2-dim slučajnog vektora (X,Y ).

NAPOMENA 9.2 Neka je (X,Y ) : Ω 2 kontinuirani 2-dim slučajni vektor sa slikom R((X,Y )) = [a,b] × [c,d].Tada vrijedi

                          ∫ b∫ d
P (a < X ≤ b,c < Y ≤ d) =        f(x,y)dxdy.
                           a  c

NAPOMENA 9.3 Neka je (X,Y ) : Ω 2 kontinuirani 2-dim slučajni vektor sa slikom R((X,Y )). Neka je dogadaj A vezan uz slučajni pokus i vektor (X,Y ). Ako označimo područje u xy ravnini koje odgovara dogadaju A sa DA onda vjerojatnost dogadaja A (geometrijsku vjerojatnost) možemo računati pomoću

        ∫ ∫
P (A) =        f(x,y)dxdy.
            DA

MOTIV 9.3 Mladić i djevojka su dogovorili sastanak na trgu u 12 sati. Čekat će se najdulje 20 minuta nakon dolaska. Kolika je vjerojatnost da se susretnu ako su oboje došli na trg od 12 do 13 sati?

Rješenje:

Neka su X i Y slučajne varijable koje predtavljaju vrijeme dolaska djevojke i mladića. Pretpostavit ćemo da jednaki vremenski intervali imaju jednaku vjerojatnost, pa su funkcije gustoće vjerojatnosti za obe varijable jednake:

       {
f1(x ) =   1, 0 ≤ x ≤ 60
          0, inaˇce.

       {
f2(x ) =   1, 0 ≤ x ≤ 60
          0, inaˇce.

Budući su slučajne varijable X i Y nezavisne možemo odrediti funkciju gustoće vjerojatnosti slučajnog vektora (X,Y ) :

f(x,y) = f1(x)⋅f2(y)
        {
           1,  0 ≤ x ≤ 60,0 ≤ y ≤ 60
f(x,y) =
           0,  inaˇce.

Računamo vjerojatnost dogadaja A = {(x,y) [0,60] × [0,60] : |x - y| < 20} :
P(A) = P(|X - Y | < 20) = DAf(x,y)dxdy = 5
9.
(vidite PRIMJER 2.20 u 2. poglavlju.)

9.3 KOVARIJANCA, KORELACIJA; PRAVCI REGRESIJE

MOTIV 9.4

Promatramo slučajni pokus bacanje 2 igraće kocke i slučajnu varijablu X = suma brojeva koji su pali i slučajnu varijablu Y = broj 1 ako su pali jednaki brojevi, inače 0. (c) Jesu li X i Y nezavisne varijable? (d) Izračunajte kovarijancu. (e) Jesu li X i Y korelirane varijable?

Definicija 9.16 (KOVARIJANCA SLUČAJNOG VEKTORA, engl.covariance of X and Y)

Neka je (X,Y ) : Ω 2 2-dim slučajni vektor. Kovarijanca slučajnog vektora (X,Y ) je

μXY  = E ((X -  E(X ))(Y  - E(Y ))) = E (X  ⋅Y )- E (X ) ⋅E(Y ).

Ako su X i Y nezavisne slučajne varijable onda je μXY = 0.

PRIMJER 9.14 (a) V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y ) + 2μXY
(b) Ako su X i Y nezavisne slučajne varijable onda je V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y ).

Dokaz: tko želi znati više

Ako je h(x,y) = x + y onda je Z = X + Y slučajna varijabla, funkcija slučajnog vektora (X,Y ).

V ar(Z )  =  E (Z2)-  (E (Z))2 = E((X + Y )2)- (E (X  + Y ))2

         =  E (X2 + 2X ⋅Y  + Y2) - (E (X )+ E (Y))2
                 2                   2           2                        2
         =  E (X  )+ 2E (X  ⋅Y) + E(Y  )- ((E (X )) + 2E (X )⋅E (Y )+  (E (Y)) )
         =  E (X2 )- (E(X ))2 + E (Y2)- (E (Y))2 + 2(E (X ⋅Y )- E (X )⋅E (Y ))

Ako su X i Y nezavisne slučajne varijable onda je μXY = 0 pa tvrdnja slijedi iz (a).

Definicija 9.17 (KOEFICIJENT KORELACIJE, engl. correlation coefficient )

Neka je (X,Y ) : Ω 2 2-dim slučajni vektor Neka je μXY kovarijanca slučajnih varijabli X i Y, a σ1 i σ2 njihove standardne devijacije. Koeficijent korelacije komponenti X i Y slučajnog vektora je definiran s

ρXY  = -μXY--.
       σ1 ⋅σ2

T: SVOJSTVA KOEFICIJENTA KORELACIJE ρXY :
(i) ρXY = ρY X,
(ii) -1 ρXY 1,
(iii) ρXY = 1 ako je Y = aX + b, a > 0, ρXY = -1 ako je Y = aX + b, a < 0,
(iv) ρUW = ρXY , ako je U = aX + b, W = cY + d, a,c0.

Dokaz: tko želi znati više

(ii) Za slučajnu varijablu U = σ2X - σ1Y , odredimo varijancu:

Var(U )  =  E (U2)-  (E (U))2
                2  2               2 2                      2
         =  E (σ2X  - 2σ1σ2XY  + σ 1Y )-  (σ2E (X )- σ1E (Y))
         =  σ22E (X2 )- 2σ1σ2E (XY )+  σ21E(Y 2)
                2       2                     2       2
            - (σ2(E(X )) - 2σ1σ2E (X )E (Y )+ σ1(E (Y )) )
         =  σ2V ar(X )+ σ2V ar(Y )- 2σ σ (E (XY  )- E (X )E(Y ))
             2           1            1 2
         =  σ22 ⋅σ21 + σ21 ⋅σ22 - 2σ1σ2μXY
              2   2
         =  2σ1 ⋅σ2 - 2σ1σ2μXY .

Budući je varijanca pozitivan broj zaključujemo da je μXY σ1σ2,  ρXY 1.
Analogno, promatrajući slučajnu varijablu U = σ2X + σ1Y  dobit ćemo nejednakost μXY ≥-σ1σ2,  ρXY ≥-1.
(iii)

μXY   =   E (XY  )- E (X )E(Y ) = E (X (aX + b))- E (X)E (aX + b)
      =   aE (X2) + bE(X )- a(E (X ))2 + bE(X ) = aV ar(X ) = aσ21,
σ22 = Var (Y ) = Var(aX  + b) = a2V ar(X ) = a2σ21,
       -μXY--   --aσ21---   -a-
ρXY =  σ1 ⋅σ2 = σ1 ⋅σ1|a| = |a|.

Definicija 9.18 (NEKORELIRANE SLUČAJNE VARIJABLE)

Neka je (X,Y ) : Ω 2 2-dim slučajni vektor Neka je μXY kovarijanca slučajnih varijabli X i Y, a σ1 i σ2 njihove standardne devijacije.
Za slučajne varijable X i Y kažemo da su nekorelirane ako je koeficijent korelacije ρXY = 0.
Ako je ρXY 0 slučajne varijable su korelirane.

PRIMJER 9.15 (a) Ako su X i Y nezavisne slučajne varijable onda su one nekorelirane.
(b) Ako su X i Y nekorelirane slučajne varijable onda one ne moraju biti nezavisne.

Dokaz:
(a) X i Y nezavisne  μXY = 0     ρXY = 0     X i Y nekorelirane.
(b) X i Y nekorelirane ρXY = 0 ali ne moraju biti X i Y nezavisne (mogu se naći primjeri).

NAPOMENA 9.4 Neka je zadan slučajni vektor (X,Y ) s funkcijom vjerojatnosti f(x,y), ili funkcija gustoće vjerojatnosti. Tražimo funkcijsku vezu izmedu slučajnih varijabli X i Y npr. Y = g(X) tako da E((Y - g(X)2)) min. Tada se krivulja dana jednadžbom y = g(x) zove regresijska krivulja od Y po X (u smislu najmanjih kvadrata) i odreduje se kao

                         ∑     f(x,yj)
y = g(x) = E (Y |X = x ) =   yj -------
                         j=1    f1(x
ili
                        ∫ ∞
y = g (x ) = E (Y|X = x) =    yf(x,y)-
                         - ∞   f1(x)
Ako pretpostavimo linearnu ovisnost Y od X tako da je g(x) = ax + b onda kao regresijsku krivulju dobijemo pravac:
y - μ2 = ρXY ⋅ σ2-(x - μ1)
              σ1
je pravac regresije Y po X.

Koeficijent a = ρXY σ2
σ--
 1 = μXY
-σ2--
  1 je koeficijent regresije Y po X.

PRIMJER 9.16 Neka je (X,Y ) : Ω 2 2-dim slučajni vektor. Neka je μXY kovarijanca slučajnih varijabli X i Y, ρXY koeficijent korelacije, σ1 i σ2 njihove standardne devijacije, a μ12 njihova očekivanja. Pretostavimo da su X i Y zavisne slučajne varijable takve da je Y = aX+b. Parametre a i b možemo odrediti metodom najmanjih kvadrata tako da E((Y -(aX+b))2) ima minimalnu vrijednost.
a = ρXY σ2-
σ1 = μXY2--
 σ1 je koeficijent regresije Y po X.
b = μ2 - ρXY σ2
---
σ1μ1 = μ2 -μXY
--2--
σ 1 μ1.
y - μ2 = μXY--
 σ21(x - μ1),
y - μ2 = ρXY σ2-
σ1(x - μ1) je pravac regresije Y po X.
Analogno, ako je X=aY+b
a = ρXY σ1-
σ2 = μXY--
 σ22 je koeficijent regresije X po Y
x - μ1 = μXY--
 σ22(Y - μ2),
x - μ1 = ρXY σ1
---
σ2(y - μ2) je pravac regresije X po Y.

Dokaz: tko želi znati više
(metoda najmanjih kvadrata)
Označimo

                           2                                       2
K (a,b)  =  E ((Y  - aX - b) ) = E (Y - μ2 - a(X - μ1) - b+ μ2 - aμ1)
         =  σ2 + a2σ2-  2aμ   + (μ  - b- aμ  )2
             2      1      XY     2         1

K(a,b) je funkcija od 2 varijable i tražimo njen ekstrem. Nužni uvjeti su

∂K                                        ∂K
----= 2a σ21 - 2μXY - 2(μ2 - b- aμ1) = 0,  ----= - 2(μ2 - b- aμ1 ) = 0.
 ∂a                                       ∂b

Rješavanjem ovog sustava od 2 jed. s 2 nepoznanice dobit ćemo

a = μXY-, b = μ  - aμ  = μ -  μXY--⋅μ .
     σ21        2     1    2    σ21    1

NAPOMENA 9.5

Pravci regresije sijeku se u točki (μ12) koja se zove centar zajedničke distribucije X i Y.
Kut izmedu pravaca regresije tgφ = 1 - ρ2XY
--ρ-----
   XY σ1 ⋅σ2
σ2+--σ2
 1    2.
Ako je ρXY = 1 ili -1 pravci regresije se poklapaju i tada postoji potpuna linearna zavisnost izmedu X i Y.
Ako je ρXY = 0 onda su pravci regresije y = μ2, x = μ1 okpmiti, a ne postoji linearna zavisnost  slučajnih varijabli X i Y.

PRIMJER 9.17 Za primjer slučajnog vektora (X,Y ) nadite kovarijancu, koeficijent korelacije i pravce regresije.

(                              ∑          ∑      )
|   X ∕Y     1   2   3   f1(x )    yjpij  xi   yjpij|
|     1      19   19   19    168      69         69    |
||     2      0   1   1    -6      5         10   ||
||                6   61    186      63         69    ||
||     3      0   0   3    18      3         3    ||
||   f2(y)    218  518  1118    1                9168   ||
|(  ∑ x p     1   8-  26                          |)
    ∑  iij   91   1186  1788   96
  yj   xipij  9   18  18   18

μ1 = E(X) = xif1(xi) = 1 6
18- + 2  6
18- + 3 6
18- = 36
18-
μ2 = E(Y ) = yjf2(yj) = 1 -2-
18 + 2 -5-
18 + 3 11-
18 = 45-
18
E(X2) = xi2f 1(xi) = 1 -6-
18 + 4 -6-
18 + 9 6--
18 = 84-
18
E(Y 2) = yj2f 2(yj) = 1  2
---
18 + 4  5
---
18 + 9 11
---
18 = 121
----
18
σ12 = V ar(X) = 84-
18 - (36-
18)2 = 2-
3
σ22 = V ar(Y ) = 121
-18- - (45
18-)2 = 17
36-
Kovarijanca je μXY = E(XY ) - E(X)E(Y ) = 96
18- -36
18- 45
18- = 1
3-.
Pravac regresije Y po X je y - μ2 = μXY--
 σ21(x - μ1),  y -45-
18 = 1
3-
23(x -36-
18),
y = 1-
2x + 3-
2.
Pravac regresije X po Y je x - μ1 = μXY
-σ2--
  2(y - μ2),  x -36
18- =  13
-17-
 36(y -45
18-),
x = 12-
17y + 4--
17,  y = 17-
12x -1-
3.
Pravci se sijeku u točki (μ12) = (2,5
--
2).
tgφ = --1172 --12-
1 + 17 ⋅ 1
    12  2 = 22-
41; Kut izmedu pravaca regresije je φ = 28.20.
Koeficijent korelacije je ρXY = -μXY--
σ1 ⋅σ2 = ---13---
∘ 2--17
  3 ⋅36 = 0.59409.


PIC

Slika 9.1: Pravci regresije slučajnog vektora (X,Y ).


PRIMJER 9.18 motiv

Promatramo slučajni pokus bacanje 2 igraće kocke i slučajnu varijablu X = suma brojeva koji su pali i slučajnu varijablu Y = broj 1 ako su pali jednaki brojevi, inače 0. (c) Jesu li X i Y nezavisne varijable? (d) Izračunajte kovarijancu. (e) Jesu li X i Y korelirane varijable?

Rješenje: (c) (                    )
| X ∕Y   0   1   f1(x )|
||   2    0   136   316 ||
||   3    2-  0    -2 ||
|        326  1-   363 |
||   4    36  36   36 ||
||   5    436  0    346 ||
||   6    4-  1-   -5 ||
||        366  36   366 ||
||   7    36  0    36 ||
|   8    436  136   356 |
||   9    4-  0    -4 ||
||        326  1    363 ||
||  10    36  36   36 ||
||  11    236  0    326 ||
|  12    0   1-   -1 |
(        30  366   36 )
  f2(y)  36  36    1

Varijable nisu nezavisne jer je npr. f(6,1)f1(6) f2(1),
f(6,1) = -1
36, f1(6) = 5-
36,f2(1) = 6-
36.

(d) E(X) = 7,E(Y ) = 16,E(XY ) = ixi jyjf(xi,yj) = 76
Kovarijanca je μXY = E(XY ) - E(X) E(Y ) = 0, pa je i koeficijnt korelacije jednak ρXY = 0.
(e) Varijable su nekorelirane jer je koeficijnt korelacije jednak ρXY = 0.

9.4 Ponovimo

DISKRETNI 2-dim SLUČAJNI VEKTOR



diskretni 2-dim sl. vek. (X,Y ) : Ω 2


funkcija vjerojatnosti f(xi,yj) = P(X = xi,Y = yj),(xi,yj) R((X,Y ))


funkcija distribucije vj. F(x,y) = P(X x,Y y)


marginalne funkcije vj.


po X f1(x) = jf(x,yj)


po Y f2(y) = if(xi,y)


nezavisne sl. var. f(xi,yj) = f1(xi) f2(yj), za sve (xi,yj) R((X,Y ))


funkcija 2-dim sl. vek. Z = h((X,Y )),h : 2


očekivanje od Z = h((X,Y ))E(Z) = i jh(xi,yj)f(xi,yj)


E(X Y ) = i jxi yj f(xi,yj)


E(X + Y ) = E(X) + E(Y )


ako su X i Y nezavisna E(X Y ) = E(X) E(Y )


kovarijanca od (X,Y ) μXY = E(XY ) - E(X) E(Y )


V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y ) + 2μXY


koef. korelacije od (X,Y ) ρXY = μσXY⋅σ-
 1 2


nekorelirane sl. var. ρXY = 0


pravac regresije Y po X y - μ2 = μXY--
 σ21(x - μ1)