15 TESTIRANJE HIPOTEZA

Teorija testiranja statističkih hipoteza sastoji se u odredivanju kriterija na osnovu kojeg pomoću eksperimentalnih vrijednosti slučajne varijable možemo odlučiti prihvaćamo li ili odbacujemo hipotezu. Parametarske hipoteze odnose se na parametre poznate funkcije distribucije slučajne varijable, a neparametarske se odnose na nepoznatu razdiobu.

Definicija 15.1 (STATISTIČKA HIPOTEZA)

Statistička hipoteza je bilo koja pretpostavka o distribuciji neke slučajne varijable (slučajnog vektora). Neparametarska hipoteza je pretpostavka o funkciji distribucije neke slučajne varijable. Parametarska hipoteza je pretpostavka o parametrima poznate distribucije neke slučajne varijable. Statističke hipoteze označavamo s H₀,H₁,..,H_n.

PRIMJER 15.1 H₀(λ = λ₀) je parametarska hipoteza za parametar λ u Poissonovoj distribuciji.

Definicija 15.2 (PROSTA HIPOTEZA)

Parametarska hipoteza je prosta hipoteza ako sadrži samo jednu pretpostavku o parametru (npr. H₀(μ = μ₀)). Parametarska hipoteza je složena ako se sastoji od konačno ili beskonačno mnogo prostih hipoteza
(npr. H₁(μ > μ₀), H₁(μ < μ₀), H₁(μ≠μ₀)).

Definicija 15.3 (STATISTIČKI TEST)

Testiranje statističkih hipoteza moguće je ako postaje barem dvije alternativne hipoteze: H₀ nul-hipoteza i njoj alternativna H₁ hipoteza (u nekom smislu suprotna). Statistiku T na uzorku (X₁,X₂,...,X_n) pomoću koje se donosi odluka o prihvaćanju nul-hipoteze ili prihvaćanju neke od alternativno postavljenih hipoteza ako je dobivena vrijednost slučajnog uzorka (x₁,x₂,...,x_n) zovemo statističkom testom. Test statistika ima svoju poznatu distribuciju.

PRIMJER 15.2 Neka je nul-hipoteza H₀(p = p₀) za slučajne varijable koje imaju B(1,p) binomnu distribuciju.
Test statistika T = 1-
n ∑ _i=1ⁿX_i ima normalnu distribuciju T ~ N(p, 1
n p(1 - p)), za n →∞.

Definicija 15.4 (GREŠKA PRVE VRSTE, NIVO ZNAČAJNOSTI)

Testom je napravljena greška prve vrste ako se nije prihvatila ispravna nul-hipoteza.
Vjerojatnost da se napravi greška prve vrste naziva se nivo (razina) značajnosti i označava s α.

Definicija 15.5 GREŠKA DRUGE VRSTE, JAKOST TESTA

Testom je napravljena greška druge vrste ako se prihvatila lažna nul-hipoteza.
Vjerojatnost da se napravi greška druge vrste označava s β.
Vjerojatnost da se ne napravi greška druge vrste zove se jakost testa označava s η, η = 1 - β.
(Jakost testa je vjerojatnost da se odbaci lažna nul-hipoteza.)

Definicija 15.6 Kritično područje
Vrijednost t_kr statistike T na uzorku (X₁,X₂,...,X_n) na osnovu koje odlučujemo prihvacamo li ili odbacujemo nul-hipotezu H₀ zove se kritična točka.
Skup vrijednosti statistike T za koje se prihvaća H₀ zove se područje prihavćanja nul-hipoteze, a skup vrijednosti statistike T za koje se ne prihvaća H₀ zove se kritično područje.
Jednostrano kritično područje može biti odredeno s uvjetom T > t_kr za t_kr > 0 ili uvjetom T < t_kr za t_kr < 0.
Dvostrano kritično područje odredeno je s uvjetom T < t_kr1 i T > t_kr2 za t_kr1 < t_kr2.

NAPOMENA 15.1 Neka je zadan nivo značajnosti α i test statistika T za parametarsku hipotezu H₀(parametar = parametar₀).
(a) Za dvostrani test:

H0 (parametar = parametar0)

H1 (parametar ⁄= parametar0)

kritične točke t_kr1, t_kr2, odredujemo iz uvjeta
P(T < t_kr1) = α-
2

, P(T > t_kr2) = α-
2

;
t_kr1 = z i t_kr2 = z_1-
su kvantili za F, funkciju distribucije test statistike T.
Ako je vrijednost test statistike t ∈ (t_kr1,t_kr2) prihvaćamo nul-hipotezu H₀, inače prihvaćamo alternativnu hipotezu H₁.
(b) Za jednostrani test:

H (parametar = parametar ) 0 0

H1 (parametar < parametar0 )

lijevu kritičnu točku (t_kr < 0) odredujemo iz uvjeta
P(T < t_kr) = α;
t_kr = z_α je kvantili za F, funkciju distribucije test statistike T.
Ako je vrijednost test statistike t ∈ (t_kr,∞) prihvaćamo nul-hipotezu H₀, inače prihvaćamo alternativnu hipotezu H₁.
(c) Za jednostrani test:

H0 (parametar = parametar0 )

H (parametar > parametar ) 1 0

desnu kritičnu točku (t_kr > 0) odredujemo iz uvjeta
P(T > t_kr) = α;
t_kr = z_1-α je kvantili za F funkciju distribucije test statistike T.
Ako je vrijednost test statistike t ∈ (-∞,t_kr) prihvaćamo nul-hipotezu H₀, inače prihvaćamo alternativnu hipotezu H₁.

NAPOMENA 15.2 Vrijednosti α,β ovise o t_kr. Želimo da obe greške budu male a to je kontradiktorno (ako α opada, t_kr se miče u desno i β raste.)
U praksi se na početku izabere α = 0.05 ili α = 0.01, zatim se odredi t_kr i na kraju se izračuna β. Ako je β veliko onda ponavljamo test pomoću većeg uzorka.

NAPOMENA 15.3 Svi teoremi o testiranju hipoteza o parametrima (očekivanje, vjerojatnost i varijanca) su dani bez dokaza. Dokazi se temelje na rezultatima dobivenim u poglavlju Intervali povjerenja i u uvodu objašnjenog postupka.

15.1 TEST HIPOTEZE ZA VJEROJATNOST BINOMNE DISTRIBUCIJE
n →∞

MOTIV 15.1 Proizvodač lijeka tvdri da je lijek za alergiju djelotvoran 90% u vremenskom razdoblju od 8 sati tako da se ukloni alergijska reakcija kože. Liječnik je vršio istraživanje. Na uzorku od 200 pacijenata s alergijskim problemima lijek je bio učinkovit kod njih 160. Koji je zaključak liječnik dobio- treba li vjerovati deklaraciji proizvodača? Pretpostavimo da je odluku donio uz razinu značajnosti 1% tj. vjerojatnost da je odbacio istinitu tvrdnju je 1%.

TEOREM 15.1 Ako je broj ponavljanja u Bernoullijevoj shemi veliki onda za parametarsku hipotezu H₀(p = p₀) test statistika

√ -- -- T = n∘-X----p0--- p0(1- p0)

ima standardnu normalnu distribuciju T ~ N(0,1).
Neka je zadan nivo (razina) značajnosti α.
(a) Za dvostrani test:
nul-hipoteza H₀(p = p₀) i alternativna H₁(p≠p₀)
kritične točke t_kr1, t_kr2, odredujemo iz uvjeta

α α P(T < tkr1) = -,P (T > tkr2) = --; 2 2

t_kr1 = z, t_kr2 = z_1- su kvantili za F*, funkciju distribucije T ~ N(0,1).
Ako je vrijednost test statistike
t = √ --
n

∈ (t_kr1,t_kr2) prihvaćamo nulhipotezu H₀, inače prihvaćamo alternativnu H₁.
(b) Za jednostrani test:
nul-hipoteza H₀(p = p₀) i alternativna H₁(p < p₀)
kritičnu točku t_kr odredujemo iz uvjeta P(T < t_kr) = α;
t_kr = z_α je kvantili za F*, funkciju distribucije T ~ N(0,1).
Ako je vrijednost test statistike
t = √n--

∈ (t_kr1,∞) prihvaćamo nul-hipotezu H₀, inač prihvaćamo alternativnu H₁.
(c) Za jednostrani test:
nul-hipoteza H₀(p = p₀) i alternativna H₁(p > p₀)
kritičnu točku t_kr odredujemo iz uvjeta P(T > t_kr) = α;
t_kr = z_1-α je kvantili za F*, funkciju distribucije T ~ N(0,1).
Ako je vrijednost test statistike
t = √ --
n

∈ (-∞,t_kr) prihvaćamo nul-hipotezu H₀, inač prihvaćamo alternativnu H₁.

PRIMJER 15.3 Napravljen je slučajni pokus bacanje novčića. Pokus je ponovljen n=4040 puta i dobiveno je 2048 grbova. Znamo da je uspjeh u pokusu binomna slučajna varijabla s parametrom p vjerojatnost da padne grb. Testiramo nulhipotezu H₀(p = 0.5) tj. testiramo hipotezu da je novčić ispravan. Alternativna hipozeza je H₁(p≠0.5). Neka je nivo značajnosti α = 0.05.

Rješenje: Postavljamo hipoteze:
nul-hipoteza H₀(p = 0.5)
alternativna hipoteze H₁(p≠0.5) H₁(p < 0.5) i H₁(p > 0.5).
Za zadani α = 0.05 provjeravamo dvostrani test.
t_kr1 = z_0.025, t_kr2 = z_0.975 su kvantili standardne normalne distribucije F^*.

Područje prihvaćanja za nul-hipotezu H₀(p = 0.5) za nivo značajnosti
α = 0.05 je (t_kr1,t_kr2) = (-1.96,1.96).
Vrijednost test statistike T(X₁,X₂,...,X_n), je

PRIMJER 15.4 motiv

Proizvodač lijeka tvdri da je lijek za alergiju djelotvoran 90% u vremenskom razdoblju od 8 sati tako da se ukloni alergijska reakcija kože. Liječnik je vršio istraživanje. Na uzorku od 200 pacijenata s alergijskim problemima lijek je bio učinkovit kod njih 160. Koji je zaključak liječnik dobio- treba li vjerovati deklaraciji proizvodača? Pretpostavimo da je odluku donio uz razinu značajnosti 1% tj. vjerojatnost da je odbacio istinitu tvrdnju je 1%.

Rješenje: Postavljamo hipoteze:
H₀(p = 0.9), deklaracija o lijeku je isprvna
H₁(p < 0.9) deklaracija je lažna.
U zadatku je zadano α = 0.01, p₀ = 0.9, x = 126000-

, n = 200.

Test statistika je T = √--
n

i ima standardnu normalnu distribuciju T ~ N(0,1), n →∞.
Za jednostrani test, kritičnu točku t_kr odredujemo iz uvjeta P(T < t_kr) = α. Tako je t_kr = z_α kvantili za F*, funkciju distribucije T ~ N(0,1).
Kritična točka je t_kr = z_α = -z_1-α = -2.33.
Područje prihvaćanja za nul-hipotezu H₀(p = 0.9) za nivo značajnosti
α = 0.01 je (t_kr,∞) = (-2.33,∞).
Vrijednost test statistike T(X₁,X₂,...,X_n),

15.2 TESTIRANJE HIPOTEZE ZA OČEKIVANJE NORMALNE DISTRIBUCIJE
kad je varijanca poznata

MOTIV 15.2

Prekidna čvrstoća kablova proizvedenih u jednoj tvornici ima uzoračku aritmetičku sredinu 815 kg i standardnu devijaciju 45 kg. Novom tehnologijom u proizvodnom procesu tvrdi se da je prekidna čvrstoća povećana. Da testira tu tvrdnju kontrolor je testirao 50 kablova i dobio uzoračku aritmetičku sredinu 840 kg. Hoće li kontorlor prihvatiti tvrdnju proizvodača uz razinu značajnosti 1%.

U 13. i 14. poglavlju (Intervali povjerenja) uočili smo da pomoću statistika T(X₁,...,X_n) donosimo zaključke o parametrima teorijske distribucije (očekivanje μ i varijanca σ²). U slučaju velikog uzorka sve statsitike imaju normalnu distribuciju N(μ, σ2
n

) bez obzira o teorijsku distribuciju populacije. Zato, za velike uzorke, ako nije poznata varijanca, možemo korigiranu uzoračku varijancu

² i uzoračku varijancu

² uzeti za procjenu σ².

TEOREM 15.2 Neka je (X₁,X₂,..X_n) slučajni uzorak slučajne varijable X koja ima poznatu distribuciju (normalna) s nepoznatim parametrom očekivanje μ i poznatom varijancom σ² (ili poznatom korigiranom uzoračkom varijancom ²). Ako je veliki uzorak (n →∞) za parametarsku hipotezu H₀(μ = μ₀) test statistika T = √n- --
X-μ0-
σ ima standardnu normalnu distribuciju T ~ N(0,1).
Neka je zadan nivo (razina) značajnosti α.
(a) Za dvostrani test:
nul-hipoteza H₀(μ = μ₀) i alternativna H₁(μ≠μ₀),
kritične točke t_kr1, t_kr2, odredujemo iz uvjeta

P(T < tkr1) = α,P (T > tkr2) = α-; 2 2

t_kr1 = z, t_kr2 = z_1- su kvantili za F*, funkciju distribucije T ~ N(0,1).
Ako je vrijednost test statistike T(X₁,X₂,...,X_n),
t = √ --
n

∈ (t_kr1,t_kr2) prihvaćamo nulhipotezu H₀, inače prihvaćamo alternativnu H₁.
(b) Za jednostarni test:
nul-hipoteza H₀(μ = μ₀) i alternativna H₁(μ < μ₀),
kritičnu točku t_kr odredujemo iz uvjeta P(T < t_kr) = α;
t_kr = z_α je kvantil za F*, funkciju distribucije test statistike T ~ N(0,1).
Ako je vrijednost test statistike T(X₁,X₂,...,X_n),
t = √n--

∈ (t_kr,∞) prihvaćamo nul-hipotezu H₀, inače prihvaćamo alternativnu H₁.
(c) Za jednostarni test:
nul-hipoteza H₀(μ = μ₀) i alternativna H₁(μ > μ₀),
kritičnu točku t_kr odredujemo iz uvjeta P(T > t_kr) = α;
t_kr = z_1-α je kvantil za F*, funkciju distribucije test statistike T ~ N(0,1).
Ako je vrijednost test statistike T(X₁,X₂,...,X_n),
t = √ --
n

∈ (-∞,t_kr) prihvaćamo nul-hipotezu H₀, inače prihvaćamo alternativnu H₁.

PRIMJER 15.5 Slučajna varijabla X ~ N(μ,σ² = 4). U uzorku veličine n=25 vrijednost uzoračke aritmetičke sredine je x = 14.7. Za nivo značajnosti α = 0.01 testirati
(a) nul-hipotezu H₀(μ = 16) i alternativnu hipotezu H₁(μ≠16),
(b) nul-hipotezu H₀(μ = 16) i alternativnu hipotezu H₁(μ < 16).

Rješenje :
Zadan je uzorak iz normalne distribucije pa za parametarsku hipotezu H₀(μ = μ₀) test statistika T = √--
n

ima standardnu normalnu distribuciju T ~ N(0,1).
Nivo značajnosti je α = 0.01, i n = 25.
(a)Testiramo:
nul-hipotezu H₀(μ = 16) i alternativnu hipotezu H₁(μ≠16),
Kritične točke su kvantili za F^* :

PRIMJER 15.6 motiv

Rješenje :
Uzorak je veliki n > 30, pa za parametarsku hipotezu H₀(μ = μ₀) test statistika T = √--
n

ima standardnu normalnu distribuciju T ~ N(0,1).
Testiramo:
nul-hipoteza H₀(μ = 815) i alternativna H₁(μ > 815)
pomoću jednostranog testa.
U zadatku su poznati podatci n = 50,

= 45,x = 840,α = 0.01.
Za veliki uzorak standardnu devijaciju σ procijenit ćemo sa uzoračkom devijacijom

. Za jednostrani test, kritičnu točku t_kr odredujemo iz uvjeta P(T > t_kr) = α;
t_kr = z_1-α = 2.33 je kvantil standardne normalne distribucije.

Područje prihvaćanja za nul-hipotezu H₀(μ = 815) za nivo značajnosti 0.01 je (-∞,2.33).
Vrijednost test statistike T(X₁,X₂,...,X_n),
t = √ --
n

= 3.93

(-∞,2.33) pa odbacujemo nul-hipotezu i prihvaćamo alternativnu hipotezu H₁(μ > 815. Kontrolor će prihvatiti tvrdnju proizvodača o poboljšanju prekidne čvrstoće.

15.3 TESTIRANJE HIPOTEZA ZA OČEKIVANJE NORMALNE DISTRIBUCIJE
kad je varijanca nepoznata

MOTIV 15.3

Da testira prekidnu čvrstoću užadi kontrolor je testirao 6 užadi i dobio uzoračku aritmetičku sredinu 3515 kg i korigiranu uzoračku varijancu 66 kg. Proizvodač tvrdi da je 3630 kg. Hoće li kontorlor prihvatiti tvrdnju proizvodača uz razinu značajnosti 1%.

MOTIV 15.4

Izvršena su mjerenja tlačne čvrstoće [ kg2
cm ] uzorka betona visoke kvalitete (A) i običnog betona (B). Dobiveni su sljedeće vrijednosti

A	357 356 413

B	346 358 302

Pretpostavimo da su tlačne čvrstoće normalno distribuirane i da imaju jednake varijance. Testirajte hipotezu da je oba tipa betona imaju jednaka očekivanja μ₁ = μ₂ uz alternativnu hipotezu da je μ₁ > μ₂, uz razinu značajnosti 5%.

TEOREM 15.3 Neka je (X₁,X₂,..X_n) slučajni uzorak slučajne varijable X koja ima normalnu distribuciju s nepoznatim parametrom očekivanje μ i nepoznatom varijancom σ². Za parametarsku hipotezu H₀(μ = μ₀) test statistika

√ -X- - μ √ -----X-- μ T = n------0 = n- 1 -----0- ^S ^Σ

ima Studentovu distribuciju T ~ t(n - 1).
Neka je zadan nivo (razina) značajnosti α.
(a) Za dvostrani test:
nul-hipoteza H₀(μ = μ₀) i alternativna H₁(μ≠μ₀),
kritične točke t_kr1, t_kr2, odredujemo iz uvjeta

P(T < tkr1) = α,P (T > tkr2) = α-; 2 2

t_kr1 = z, t_kr2 = z_1- su kvantili za F, funkciju distribucije T ~ t(n - 1).
Ako je vrijednost test statistike T(X₁,X₂,...,X_n),
t = √ --
n

∈ (t_kr1,t_kr2) prihvaćamo nulhipotezu H₀, inače prihvaćamo alternativnu H₁.
(b) Za jednostarni test:
nul-hipoteza: H₀(μ = μ₀) i alternativna H₁(μ < μ₀), kritičnu točku t_kr odredujemo iz uvjeta P(T < t_kr) = α.
t_kr = z_α je kvantil za F, funkciju distribucije test statistike T ~ t(n - 1).
Ako je vrijednost test statistike T(X₁,X₂,...,X_n),
t = √n--

∈ (t_kr,∞) prihvaćamo H₀, inače prihvaćamo alternativnu H₁.
(c) Za jednostarni test:
nul-hipoteza H₀(μ = μ₀) i alternativna H₁(μ > μ₀) kritičnu točku t_kr odredujemo iz uvjeta P(T > t_kr) = α;
t_kr = z_1-α, je kvantil za F, funkciju distribucije test statistike T ~ t(n - 1).
Ako je vrijednost test statistike T(X₁,X₂,...,X_n),
t = √ --
n

∈ (-∞,t_kr) prihvaćamo nulhipotezu H₀, inače prihvaćamo alternativnu H₁.

NAPOMENA 15.4 Kvantili za Studentovu distribuciju za n = 5, t(4),
F(z_α) = α :

|-----|-------|-------| |------|------|-------| |-α---|-0.05--|-0.01--| |--α---|-0.05--|-0.01--| | α- | 0.025 | 0.005 | |-zα---|--2.13-|-- 1.53| |--2α--|-------|-------| |z1-α | 2.13 | 1.53 | |-z2--|-- 2.78|--4.60-| ---------------------- -z1- α2--2.78----4.60---

PRIMJER 15.7 Neka slučajna varijabla ima normalnu distribuciju
X ~ N(μ,σ²) nepoznate varijance σ². Uzet je utorak veličine n = 5 i dobivena je vrijednost uzoračke aritmetičke sredine x = 10.2, i vrijednost korigirane uzoračke varijance ² = 0.64. Za nivo značajnosti α = 0.05 testirati
(a) nul-hipotezu H₀(μ = 10) i alternativnu hipotezu H₁(μ≠10),
(b) nul-hipotezu H₀(μ = 10) i alternativnu hipotezu H₁(μ < 10).

PRIMJER 15.8 motiv

Da testira prekidnu čvrstoću užadi kontrolor je testirao 6 užadi i dobio uzoračku aritmetičku sredinu 3515 kg i uzoračku standardnu devijaciju 66 kg. Proizvodač tvrdi da je 3630 kg. Hoće li kontorlor prihvatiti tvrdnju proizvodača uz razinu značajnosti 1%.

Rješenje:
Testira se:
nulhipoteza H₀(μ = 3630) i alternativna H₁(μ < 3630)
pomoću jednostranog testa.

Test statistika T = √n--

ima studentovu distribuciju T ~ t(n - 1).
Za jednostrani test kritičnu točku t_kr odredujemo iz uvjeta P(T < t_kr) = α.
t_kr = z_α, je kvantil za F, funkciju distribucije test statistike T ~ t(n - 1).
Za α = 0.01 i n = 6, t_kr = z_α = z_0.01, -t_kr = z_0.99, -t_kr = 3.37, t_kr = -3.37.
Područje prihvaćanja za nul-hipotezu H₀(μ = 3630) za nivo značajnosti α = 0.01 je (-3.37,∞).
Vrijednost test statistike T(X₁,X₂,...,X_n),
t = √ -----
n- 1

⋅

= -3.89

(-3.37,∞) pa ne prihvaćamo nulhipotezu H₀(μ = 3630), nego alternativnu H₁(μ < 3630). Kontrolor će odbaciti tvrdnju proizvodača s razinom značajnosti 1%.

NAPOMENA 15.5 Neka su (X₁,X₂,....X_n) i (Y ₁,Y ₂,...,Y _n) zadana dva slučajna uzorka iz normalne distribucije nepoznatih očekivanja μ₁ i μ₂ ali jedankih varijanci σ₁² = σ₂². Ako testiramo H₀(μ₁ = μ₂)
uz alternativne hipoteze H₁(μ₁ > μ₂) ili H₁(μ₁ < mu₂) ili H₁(μ₁≠μ₂)
definiramo μ = μ₁ - μ₂ i testiramo H₀ : μ = 0
uz alternativne hipoteze H₁(μ > 0) ili H₁(μ < 0) ili H₁(μ≠0).

PRIMJER 15.9 motiv

Izvršena su mjerenja tlačne čvrstoće [ kg2
cm ] uzorka betona visoke kvalitete (A) i običnog betona (B). Dobiveni su sljedeće vrijednosti

A	357 359 413

B	346 358 302

Rješenje:
Definiramo novu varijablu razlike čvrstoća D i uzorak razlike čvrstoća

Uzoračaka aritmetička sredina za D je d = 41, a korigiranqauzoračka varijanca

_D² = 3700
Za ovaj uzorak testiramo nul-hipotezu H₀(μ = 0)
uz alternativnu hipotezu H₁(μ > 0). Koristimo test statistiku T = √ --
n

koja ima studentovu distribuciju T ~ t(n - 1).
Za jednostrani test, kritičnu točku t_kr odredujemo iz uvjeta P(T > t_kr) = α.
t_kr = z_1-α, je kvantil za F, funkciju distribucije test statistike T ~ t(n - 1).
U zadatku je zadana razina značajnosti α = 0.05 i n = 3 pa iz tablice t(2) očitavamo t_kr = z_1-α = 2.92.

Područje prihvaćanja za nul-hipotezu H₀(μ = 0) za nivo značajnosti α = 0.05 je (-∞,2.92).
Ako je vrijednost test statistike t = √ --
n

∈ (t_kr,∞) prihvaćamo nul-hipotezu, inače prihvaćamo alternativnu.
t = √ --
3

= 1.167 ∈ (-∞,2.92), pa prihvaćamo nul-hiptezu H₀ : μ = 0, tj. nul-hipotezu H₀(μ₁ = μ₂).

S razinom značajnosti 5% prihvaćamo hipotezu da oba betona imaju jednaka očekivanja čvrstoće.

15.4 TESTIRANJE HIPOTEZA za varijancu normalne razdiobe

MOTIV 15.5 Očekivana masa palete opeka je 1166.4 kg. Standardna devijacija mase palete opeka je 5.5 kg. Kontrolor je testirao uzorak od 20 paleta i dobio uzoračku standardnu devijaciju 6.5 kg. Može li kontrolor zaključiti da je standardna devijacija u porastu uz nivo značajnosti 5%?

TEOREM 15.4 Neka je (X₁,X₂,..X_n) slučajni uzorak slučajne varijable X koja ima normalnu distribuciju s nepoznatim parametrom varijancom σ². Za parametarsku hipotezu H₀(σ² = σ₀²) test statistika

T = n---1^S2 = -n-⋅ ^Σ2 σ20 σ20

ima hikvadrat distribuciju s (n - 1) stupnjeva slobode T ~ χ²(n - 1).
Neka je zadan za nivo (razina) značajnosti α.
(a) Za dvostarni test:
nul-hipoteza H₀(σ² = σ₀²) i alternativna H₁(σ²≠σ₀²),
kritične točke t_kr1, t_kr2, odredujemo iz uvjeta

α- α- P(T < tkr1) = 2,P (T > tkr2) = 2 .

t_kr1 = z, t_kr2 = z_1- su kvantili za funkciju distribucije χ²(n - 1).
Ako je vrijednost test statistike T(X₁,X₂,...,X_n),
t = (n-21)
σ0

² ∈ (t_kr1,t_kr2)
prihvaćamo nul-hipotezu H₀, inače prihvaćamo alternativnu H₁.
(b) Za jednostrani test:
nul-hipoteza H₀(σ² = σ₀²) i alternativna H₁(σ² < σ₀²),
kritičnu točku t_kr odredujemo iz uvjeta P(T < t_kr) = α.
t_kr = z_α je kvantil za funkciju distribucije χ²(n - 1).
Ako je vrijednost test statistike T(X₁,X₂,...,X_n),
t = (n-1)
-σ20--

² ∈ (t_kr,∞)
prihvaćamo nul-hipotezu H₀, inače prihvaćamo alternativnu H₁.
(c) Za jednostarni test:
nul-hipoteza H₀(σ² = σ₀²) i alternativna H₁(σ² > σ₀²),
kritičnu točku t_kr odredujemo iz uvjeta P(T > t_kr) = α.
t_kr = z_1-α, je kvantil za funkciju distribucije χ²(n - 1).
Ako je vrijednost test statistike T(X₁,X₂,...,X_n),
t = (n-21)
σ0

² ∈ (-∞,t_kr)
prihvaćamo nul-hipotezu H₀, inače prihvaćamo alternativnu H₁.

NAPOMENA 15.6 Kvantili za hikvadrat distribuciju za n = 4, χ²(4),
F(z_α) = α :

|------|------|------| |-----|-----|------| |--α---|-0.05--|-0.01--| |--α--|-0.05-|-0.01-| | α2- |0.025 |0.005 | |-zα--|-0.71-|-0.29-| |---α--|------|------| |z1-α | 9.48 | 11.27 | |-z-2--|-0.48--|-0.21--| -------------------- -z1--α2--11.14--14.86-|

PRIMJER 15.10 Neka slučajna varijabla ima normalnu distribuciju
X ~ N(μ,σ²). U uzorku veličine n = 5 vrijednost korigirane uzoračke varijance je ² = 0.64 Za nivo značajnosti α = 0.05 testirati
(a) nul-hipotezu H₀(σ² = 0.8²) i alternativnu hipotezu H₁(σ²≠0.8),
(b) nul-hipotezu H₀(σ² = 0.8²) i alternativnu hipotezu H₁(σ² < 0.8).

(a) Testitamo:
nul-hipotezu H₀(σ² = 0.8²) i alternativnu hipotezu H₁(σ²≠0.8²),

Za α = 0.05, n = 5, kritična točka je kvantil distribucije χ²(4) :
t_kr = z_α = z_0.05,t_kr = 0.71.
Područje prihvaćanja za nul-hipotezu H₀(σ² = 0.64) za nivo značajnosti α = 0.05 je (t_kr,∞) = (0.71,∞).
Vrijednost test statistike T(X₁,X₂,...,X_n),
t = (nσ-21)
0

² =

0.64 = 4 ∈ (0.71,∞) pa prihvaćamo nul-hipotezu H₀(σ² = 0.64).

PRIMJER 15.11 motiv

Očekivana masa palete opeka je 1166.4 kg. Standardna devijacija mase palete opeka je 5.5 kg. Kontrolor je testirao uzorak od 20 paleta i dobio uzoračku standardnu devijaciju 6.5 kg. Može li kontrolor zaključiti da je standardna devijacija u porastu uz nivo značajnosti 1%?

Rješenje :
U zadatku su zadani n = 20,

= 6.5, i nivo značajnosti α = 0.01.
Ako se testira:
nulhipoteza H₀(σ = 5.5) i alternativna H₁(σ > 5.5),
pomoću jednostranog testa, izabiremo test statistiku

15.5 Ponovimo


slučajni uzorak	(X₁,X₂,...,X_n)

parametar	t

nivo (razina) značajnosti	α = 0.01 ili 0.05

nul-hipoteza	H₀(t = t₀)

alternativna hipoteze	H₀(t≠t₀), H₀(t < t₀) ,H₀(t > t₀)

test statistika	T uz H₀

dvostrani test za t	P(T < t_kr1) + P(T > t_kr2) = α

	t_kr1 = z t_kr2 = z_1-

prihvat za H₀	t ∈ (t_kr1,t_kr2)

jednostrani test za t	P(T < t_kr) = α

	t_kr = z_α

prihvat za H₀	t ∈ (t_kr,∞)

jednostrani test za t	P(T > t_kr) = α

	t_kr = z_1-α

prihvat za H₀	t ∈ (-∞,t_kr)


slučajni uzorak	(X₁,X₂,...,X_n) n > 30 B(n,p)

parametar p,

nivo (razina) značajnosti	α = 0.01 ili 0.05

nul-hipoteza	H₀(p = p₀)

alternativna hipoteze	H₀(p≠p₀), H₀(p < p₀) ,H₀(p > p₀)

test statistika	T = ~ N(0,1)


slučajni uzorak	(X₁,X₂,...,X_n) n > 30 iliN(μ,σ²)

parametar μ,	σ² poznat

nivo (razina) značajnosti	α = 0.01 ili 0.05

nul-hipoteza	H₀(μ = μ₀)

alternativna hipoteze	H₀(μ≠μ₀), H₀(μ < μ₀) ,H₀(μ > μ₀)

test statistika	T = ~ N(0,1)


slučajni uzorak	(X₁,X₂,...,X_n) n < 30 ili N(μ,σ²)

parametar μ,	σ² nepoznat

nivo (razina) značajnosti	α = 0.01 ili 0.05

nul-hipoteza	H₀(μ = μ₀)

alternativna hipoteze	H₀(μ≠μ₀), H₀(μ < μ₀) ,H₀(μ > μ₀)

test statistika	T = ~ t(n - 1)


slučajni uzorak	(X₁,X₂,...,X_n) n < 30 ili N(μ,σ²)

parametar σ²,

nivo (razina) značajnosti	α = 0.01 ili 0.05

nul-hipoteza	H₀(σ² = σ₀²)

alternativna hipoteze	H₀(σ²≠σ₀²), H₀(σ² < _0) ,H₀(σ² > σ₀²)

test statistika	T = ² ~ χ²(n - 1)


A-B	11 1 111

Poglavlje 15TESTIRANJE HIPOTEZA

15.1 TEST HIPOTEZE ZA VJEROJATNOST BINOMNE DISTRIBUCIJE n →∞

15.2 TESTIRANJE HIPOTEZE ZA OČEKIVANJE NORMALNE DISTRIBUCIJE kad je varijanca poznata

15.3 TESTIRANJE HIPOTEZA ZA OČEKIVANJE NORMALNE DISTRIBUCIJE kad je varijanca nepoznata

15.4 TESTIRANJE HIPOTEZA za varijancu normalne razdiobe

15.5 Ponovimo

Poglavlje 15
TESTIRANJE HIPOTEZA

15.1 TEST HIPOTEZE ZA VJEROJATNOST BINOMNE DISTRIBUCIJE
n →∞

15.2 TESTIRANJE HIPOTEZE ZA OČEKIVANJE NORMALNE DISTRIBUCIJE
kad je varijanca poznata

15.3 TESTIRANJE HIPOTEZA ZA OČEKIVANJE NORMALNE DISTRIBUCIJE
kad je varijanca nepoznata