Poglavlje 14
INTERVAL POVJERENJA ZA VARIJANCU

14.1 INTERVAL POVJERENJA ZA VARIJANCU NORMALNU distribucije
poznatog očekivanja

MOTIV 14.1

Neka slučajna varijabla ima normalnu distribuciju
X ~ N(μ,σ2) nepoznate varijance σ2 i poznatog očekivanja μ = 10. Uzet je uzorak veličine n = 5 i dobivena je vrijednost uzorka (7,8,10,9,9). Odredite interval povjerenja za varijancu σ2 slučajne varijable s pouzdanošću γ = 0.95.

TEOREM 14.1 Neka je (X1,X2,..Xn) slučajni uzorak slučajne varijable
X ~ N(μ,σ2) s nepoznatim parametrom varijancom σ2, i poznatog očekivanja μ. Interval povjerenja (G1,G2) za parametar varijance σ2 s pouzdanošću γ čine procjenitelji:

        ∑n                      ∑n
G1 = -1-   (Xi - μ)2 i  G2 = -1-   (Xi - μ)2,
     λ2 i=1                  λ1 i=1

gdje su λ1 = z1-γ-
2, λ2 = z1+γ
 2, kvantili hi-kvadrat distribucije χ2(n),
F(z1-2γ) = 1-γ
-2-, F(z1+2γ) = 1+ γ
-2-.

Dokaz: tko želi znati više

Neka je X ~ N(μ,σ2) , onda je Y = i=1n(Xi --μ-
  σ)2 ~ χ2(n).
Na intervalu (λ12) :
P(λ1 < 1--
σ2 i=1n(X i - μ)2 < λ 2) = F(λ2) - F(λ1), tj.

      n                     n
  -1-∑          2    2   1-∑          2
P(λ2    (Xi - μ) < σ  <  λ1   (Xi - μ) ) = F(λ2)- F (λ1).
     i=1                   i=1

Ako je zadana pozdanost γ, P(G1 < σ2 < G2) = γ = 1+γ
 2 -1-γ
 2, onda možemo odrediti λ1,λ2 tako da vrijedi F(λ1) = 1-2γ,F(λ2) = 1+2γ tj. λ1 = z1--γ
 2, λ2 = z1+γ
 2 su kvantili hikvadrat distribucije χ2(n).
Procjenitelji G1 = 1
---
λ2 i=1n(X i - μ)2, G 2 =  1
---
λ1 i=1n(X i - μ)2 čine interval povjerenja

    ∑n             ∑n
(-1-   (Xi - μ)2, 1-  (Xi - μ)2)
 λ2 i=1          λ1 i=1

za parametar σ2 slučajne varijable X ~ N(μ,σ2) s pouzdanošću γ.
Parametar varijanca σ2 s pouzdanošću γ poprimit će vrijednosti u intervalu

  1 ∑n        2  1 ∑n        2
(λ--   (xi - μ ),λ-   (xi - μ )),
   2i=1           1i=1

gdje su λ1 = z1-γ-
 2, λ2 = z1+γ
 2 kvantili hikvadrat distribucije χ2(n).
Ako je tablica hikvadrat distribucije Y ~ χ2(n), dana u obliku
P(Y > ε) = p, onda P(Y > λ2) = 1---γ
  2, P(Y > λ1) = 1+--γ
  2.

NAPOMENA 14.1 Ova procjena parametra varijance slučajne varijable
X ~ N(μ,σ2) poznatog očekivanja može koristiti za odredivanje širine inervala

    ∑n
δ =    (xi - μ)2( 1-- -1)
    i=1          λ1   λ2

uz zadanu pozdanost γ za interval povjerenja

    ∑n             ∑n
(-1-   (xi - μ )2,-1   (xi - μ )2),
 λ2 i=1         λ1 i=1

gdje su λ1 = z1-γ-
2, λ2 = z1+γ
 2 kvantili hikvadrat distribucije χ2(n - 1).

NAPOMENA 14.2 Kvantili za hikvadrat distribuciju za n = 5,χ2(5),
F(z1+2γ) = 1+γ
 2 :

|------|------|------|  |------|------|-----|
|--γ---|0.95--|0.99--|  |--γ---|0.95--|0.99-|
| 1+γ  |0.975  |0.995  |  | 1-γ  |0.025 |0.01 |
|--2---|------|------|  |--2---|------|-----|
-z-1+2γ---12.83---16.75--|  --z1-2γ--0.83---0.55-|

PRIMJER 14.1 motiv

Neka slučajna varijabla ima normalnu distribuciju
X ~ N(μ,σ2) nepoznate varijance σ2 i poznatog očekivanja μ = 10. Uzet je uzorak veličine n = 5 i dobivena je vrijednost uzorka (7,8,10,9,9). Odredite interval povjerenja za varijancu σ2 slučajne varijable s pouzdanošću γ = 0.95.

Rješenje: P(-1
λ2 i=1n(xi - μ)2 < σ2 < -1
λ1 i=1n(xi - μ)2) = γ.
Za varijancu σ2, poznatog očekivvanja interval povjerenja pouzdanosti γ je (λ12 i=1n(xi - μ)2,λ11 i=1n(xi - μ)2), gdje su λ1 = z1-γ-
 2, λ2 = z1+γ
 2 kvantili hikvadrat distribucije χ2(n).
Za n = 5, λ1 = z1-2γ, λ2 = z1+2γ.
Iz tablice očitavamo za γ = 0.95, λ1 = z1-γ
 2 = 0.832 = z1+γ
 2 = 12.83.
Koristeći date vrijednosti iz uzorka i=15(x i - 10)2 = 32 + 22 + 12 + 12 = 15
dobivamo interval povjerenja za σ2 :

  1 ∑n           1 ∑n                1        1
(---   (xi - μ )2,---  (xi - μ )2) = (----⋅ 15,----⋅15) = (1.17,18.07).
 λ2 i=1          λ1i=1             12.83     0.83

14.2 INTERVAL POVJERENJA ZA VARIJANCU NORMALNE distribucije
nepoznatog očekivanja

MOTIV 14.2

U četiri mjerenja Rockwellove tvrdoće jedne ploče radnici du dobili sljedeće vrijednosti:
64.9,64.1,63.8,64.0.
Odredite interval povjerenja za varijancu tvrdoće s pouzdanošću 99%.

TEOREM 14.2 Neka je (X1,X2,..Xn) slučajni uzorak slučajne varijable
X ~ N(μ,σ2) s nepoznatim parametrom varijancom σ2, nepoznatog očekivanja μ. Interval povjerenja (G1,G2) za varijance σ2 s pouzdanošću γ čine procjenitelji:

G1 =  (n---1)^S2 i  G2 = (n---1)^S2,
        λ2                λ1

gdje je ^S 2 korigirana uzoračka varijanca, a λ1 = z1--γ
 2, λ2 = z1+γ
 2, kvantili hikvadrat distribucije χ2(n - 1),
F(z1-2γ) = 1-γ
-2-, F(z1+2γ) = 1+ γ
-2-.

Dokaz: tko želi znati še

Neka je X ~ N(μ,σ2), onda je Y = n-1-
 σ2 ^
S 2 ~ χ2(n - 1).
Na intervalu (λ12) : P(λ1 < n-σ21^S 2 < λ2) = F(λ2) - F(λ1) tj.

   (n - 1)           (n - 1)
P (------S^2 < σ2 <  ------S^2 ) = F (λ2)- F (λ1).
     λ2               λ1

Ako je zadana pozdanost γ, P(G1 < σ2 < G2) = γ = 1+ γ
--2 -1- γ
--2, i onda možemo odrediti λ12 tako da vrijedi F(λ1) = 1-2γ,F(λ2) = 1+2γ tj. λ1 = z1-γ-
 2, λ2 = z1+γ
 2 kvantili hikvadrat distribucije χ2(n - 1).
Procjenitelji G1 = (n-1)
-λ2--^S 2, G2 = (n-1)
-λ1--^S 2 čine interval povjerenja

  (n - 1)    (n - 1)
( ------^S2, ------S^2 )
    λ2        λ1

za parametar σ2 slučajne varijable X ~ N(μ,σ2) s pouzdanošću γ.
Parametar varijanca σ2 s pouzdanošću γ poprimit će vrijednosti u u intervalu ((n-1)
  λ2^s 2,(n--1)
 λ1^s 2), gdje su λ1 = z1-γ
-2-, λ2 = z1+γ
-2- kvantili hikvadrat distribucije χ2(n - 1).
Ako je tablica hikvadrat distribucije Y ~ χ2(n - 1), dana u obliku
P(Y > ε) = p, onda P(Y > λ2) = 1-γ
 2, P(Y > λ1) = 1+γ
 2.

NAPOMENA 14.3 Ova procjena parametra varijance slučajne varijable
X ~ N(μ,σ2) nepoznatog očekivanja može koristiti za odredivanje

            2-1-   1--
δ = (n - 1)^s(λ1 -  λ2)

širine inervala uz zadanu pozdanost γ za interval povjerenja

((n---1)^S2, (n---1)^S2),
   λ2         λ1

gdje su λ1 = z1-γ-
2, λ2 = z1+γ
 2 kvantili hikvadrat distribucije χ2(n - 1).

NAPOMENA 14.4 Kvantili za hikvadrat distribuciju za n = 4, χ2(4),
F(z1+2γ) = 1+γ
-2- :

|-----|------|------|  |-----|------|-----|
|-γ---|-0.95--|-0.99--|  |--γ--|-0.95-|-0.99-|
|1+2γ--|0.975-|0.995-|  |-1-2γ-|-0.025-|-0.01-|
|z1+γ |11.14 |14.86 |  |z1-γ | 0.48 | 0.21 |
---2-----------------  ---2----------------

PRIMJER 14.2 Neka slučajna varijabla ima normalnu distribuciju
X ~ N(μ,σ2) nepoznate varijance σ2 i nepoznatog očekivanja μ. Uzet je uzorak veličine n = 5 i dobivena je vrijednost uzorka (7,8,10,9,9). Odredite interval povjerenja za varijancu σ2 slučajne varijable s pouzdanošću γ = 0.95.

Rješenje: P((n-1)
  λ2^S 2 < σ2 < (n-1)
  λ1^S 2) = γ.
Za varijancu σ2 interval povjerenja pouzdanosti γ je ((n--1)-
 λ2 ^
S 2,(n--1)-
 λ1 ^
S 2), gdje su λ1 = z1-γ
 2, λ2 = z1+γ
 2 kvantili hikvadrat distribucije χ2(n - 1).
Za n = 5, iz tablice očitavamo za γ = 0.95, λ1 = z1-γ
 2 = 0.48,
λ2 = z1+2γ = 11.14.
Koristeći date vrijednosti iz uzorka: x = 1-
n i=1nx i = 1-
5(7 + 8 + 10 + 9 + 9) = 8.6,
i=15(x i -x)2 = 32 + 22 + 12 + 12 = 15

             ∑n                  ∑5
^s2  =   --1--   (xi - x)2 = -1---   (xi - 8.6)2
        n - 1 i=1            5- 1 i=1
        1
    =   -((7- 8.6)2 + (8 - 8.6)2 + (10- 8.6)2 + (9- 8.6)2 + (9 - 8.6 )2) = 1.3
        4
dobivamo interval povjerenja za σ2 :
((n---1)^s2, (n--1)^s2) = ((5--1)⋅1.3, (5--1)-⋅1.3) = (0.47,10.83).
   λ2        λ1          11.14       0.48

PRIMJER 14.3 Neka slučajna varijabla ima normalnu distribuciju
X ~ N(μ,σ2) nepoznate varijance σ2 i nepoznatog očekivanja μ. Uzet je uzorak veličine n = 5 i dobivena je vrijednost korigirane uzoračke varijance ^s 2 = 0.64. Odredite interval povjerenja za varijancu σ2 slučajne varijable s pouzdanošću γ = 0.95.

Rješenje: P((n-1)
  λ2^S 2 < σ2 < (n-1)
  λ1^S 2) = γ.
Za varijancu σ2 interval povjerenja pouzdanosti γ je ((n-λ-1)-
  2S^ 2,(n-λ-1)-
  1S^ 2), gdje su λ1 = z1-γ
-2-, λ2 = z1+γ
-2- kvantili hikvadrat distribucije χ2(n - 1).
Za n = 5, iz tablice očitavamo za γ = 0.95, λ1 = z1-2γ = 0.48,
λ2 = z1+γ
 2 = 11.14.
Koristeći date vrijednosti iz uzorka ^s 2 = 0.64 dobivamo interval povjerenja za σ2 :

 (n---1) 2 (n---1) 2    (5---1)      (5---1)
(   λ2  ^s ,  λ1   ^s ) = ( 11.14 ⋅0.64, 0.48  ⋅0.64) = (0.229,5.33)

PRIMJER 14.4 motiv

U četiri mjerenja Rockwellove tvrdoće jedne ploče radnici du dobili sljedeće vrijednosti:
64.9,64.1,63.8,64.0.
Odredite interval povjerenja za varijancu tvrdoće s pouzdanošću 99%.

Rješenje:

Za varijancu σ2 interval povjerenja pouzdanosti γ je ((nλ-21)^S 2,(nλ-11)^S 2), gdje su λ1 = z1-γ
-2-, λ2 = z1+γ
-2- kvantili hikvadrat distribucije χ2(n - 1).
Za n = 4, i γ = 0.99, iz tablice za χ2(3) očitavamo za λ1 = z1-2γ = 0.07
λ2 = z1+γ
 2 = 12.84.
Koristeći date vrijednosti iz uzorka ^s 2 = 0.233 dobivamo interval povjerenja za σ2 :

 (n---1) 2 (n--1-) 2    --3--       -(3)
(  λ2   ^s ,  λ1   ^s) = (12.84 ⋅0.233,0.07 ⋅0.233) = (0.054,9.98).
Interval povjerenja za varijancu uz pouzdanost 99% je [0.05,9.98].

NAPOMENA 14.5 Intervali povjerenja za varijancu i standardnu devijaciju ako je n veliki.
(a) za n > 30, P(     2
(√2n2n-^σ3+-λ)2- < σ2 <       2
(√22nn-^σ3-λ)2) = γ,

λ = z1+γ
-2- kvantili standardne normalne distribucije;
(b) za n 100,P(^σ - λ√^σ2n- < σ < ^σ + λ√^σ2n-) = γ,

λ = z1+γ
 2 kvantili standardne normalne distribucije.

PRIMJER 14.5 Uzet je uzorak veličine 100 za visinu 18-godišnjakinja i dobivene su vrijednosti za uzoračku aritmetičku sredinu x = 165 cm i uzoračku varijancu  σ^2 = 5.82 cm.
Pretpostavimo da visina djevojaka ima normalnu distribuciju.
(a) Odredite interval povjerenja za očekivnje μ (srednju visinu) s pouzdanošću

γ = 0.95.
(b) Odredite interval povjerenja za standardnu devijaciju σ s pouzdanošću

γ = 0.95.
(c) Koliki treba biti uzorak da s pouzdanošću γ = 0.95 standardna devijacija

ne odstupa od uzoračke standardne devijacije više od 5%?

Rješenje:
(a) za n > 30, P(X - λ ^σ
√n- < μ < X + λ ^σ
√n-) = γ, λ = z1+2γ kvantili standardne

normalne distribucije

(x-- λ σ√^-<  μ < x+ λ √^σ-)
       n               n
                  -5.8-                 -5.8-
    =   (165- 1.96√100--< μ < 165.+ 1.96√100-) = (163.8,166.2).
(b) za n 100, P(^σ - λ√^σ2n- < σ < ^σ + λ√^σ2n-) = γ, λ = z1+γ
 2 kvantili

standardne normalne distribucije

(^σ - λ √^σ--< μ < ^σ + λ√-^σ-)
        2n              2n
                     -5.8--                -5.8--
       =   (5.8 - 1.96 √200 < μ < 5.8 + 1.96 √200 ) = (4.9,6.6).
(c) P(^σ - λ ^σ
√2n- < σ < ^σ + λ ^σ
√2n-) = γ, λ = z1+2γ kvantili standardne normalne distribucije.

Iz P(5.8 - 1.965√.8--
 2n < σ < 5.8 + 1.965√.8-
 2n) = 0.95 i uvjeta 1.965√.8-
 2n < 5.8 5%

zaključujemo da je za n 769.

---------------------------
| γ   |0.90 | 0.95  | 0.99  |
|1+-γ-|-----|------|------|
|--2--|0.95-|0.975-|0.995-|
|z1+γ |1.65 | 1.96  | 2.58  |
---2-----------------------

14.3 Ponovimo

INTERVAL POVJERENJA ZA VARIJANCU NORMALNE distribucije
(očekivanje poznato)



slučajni uzorak (X1,X2,...,Xn), iz N(μ,σ2)


parametar σ2


pouzdanost γ


interval povjerenja za σ2P(G1 σ2 G2) γ


G1 = -1
λ2 i=1n(Xi - μ)2


G1 = -1
λ1 i=1n(Xi - μ)2


λ1 z1-2γ, kvantil χ2(n)


λ2 z1+-γ
 2, kvantil χ2(n)


INTERVAL POVJERENJA ZA VARIJANCU NORMALNE distribucije
(očekivanje nepoznato)



slučajni uzorak (X1,X2,...,Xn), iz N(μ,σ2)


parametar σ2


pouzdanost γ


interval povjerenja za σ2P(G1 σ2 G2) γ


G1 = n-λ12- ^S 2


G2 = n-1-
 λ1 ^S 2


λ1 z1-2γ, kvantil χ2(n - 1)


λ2 z1+2γ, kvantil χ2(n - 1)