Poglavlje 3
AKSIOMATSKA DEFINICIJA
VJEROJATNOSTI

Klasična definicija a priori i klasična definicija a posteriri imaju nedostatke. Ruski matemtičar A. Kolmogorov(1903.-1987.) smatra se ocem moderne terorije vjerojatnosti i on uvodi aksiomatsku definiciju vjerojatnosti u monografiji Osnovni pojmovi teorije vjerojantosti(1933.).

MOTIV 3.1

Vjerojatnost da jedna vrsta gume ima rok trajanja veći od 10000 km je 0.95. Kolika je vjerojatnost da će na autu
(a) sve gume trajati duže od 10000 km?
(b) barem jedna guma puknuti prije predenih 10000 km?

MOTIV 3.2

(a) Tri bagerista su slučajno uzimali ključeve svojih strojeva iz kutije. Kolika je vjerojatnost da je bar jedan izabrao ključeve svog vozila?

tko želi znati više

(b)Ako je bilo n bagerista kolika je vjerojatnost da je bar jedan sjeo u svoj bager?

Definicija 3.1 (SKUP SVIH MOGUĆIH DOGAĐAJA SLUČAJNOG POKUSA)

Neka je Ω prostor elementarnih dogadaja. Partitivni skup ili skup svih podskupova od Ω, P(Ω) zovemo skup svih mogućih dogadaja slučajnog pokusa.
Podskup AP(Ω) zovemo familija dogadaja iz Ω.

Definicija 3.2 (SIGMA ALGEBRA DOGAĐAJA)

Neka familija dogadaja FP(Ω) ima svojstva:

(i) ∅∈F

(ii) A FAc F

(iii) Ako je Ai F,i i=1Ai F
Takvu familiju skupova F zovemo sigma algebra dogadaja (σ-algebra).
Ako je Ω konačan skup onda je i svaka σ-algebra AP(Ω) konačna i naziva se algebra dogadaja.

PRIMJER 3.1

Familija skupova F0 = {∅,Ω} je σ-algebra (minimalna).
Familija skupova F = P(Ω) je σ-algebra (maksimalna).

T: SVOJSTVA:

(a) Ω F,

(b) Ako je Ai F,i i=1Ai F .

D:
(a) Prema definiciji (i), (ii) Ω = c F.
(b) Prema definiciji (iii) i=1Ai = ( i=1Aic)c F.

Definicija 3.3 (AKSIOMATSKA DEFINICIJA VJEROJATNOSTI)

Neka je Ω prostor elementarnih dogadaja slučajnog pokusa. neka je F σ-algebra skupova na Ω . Funkcija P:F zove se vjerojatnost  na F ako vrijedi:
(P1) P(A) 0,A F (svojstvo nenegativnosti);
(P2) P(Ω) = 1 (svojstvo normiranosti);
(P3) Ai F,i ,Ai Aj = ,ij P( i=1Ai) = i=1P(Ai)  (svojstvo prebrojive aditivnosti).

Definicija 3.4 (VJEROJATNOSNI PROSTOR)

Uredena trojka ,F,P) gdje je F σ-algebra na Ω, a P vjerojatnost na F, zove se vjerojatnosni prostor.
Ako je Ω prebrojiv ili konačan skup elementarnih dogadaja onda uredenu trojku ,F, P) zovemo diskretni vjerojatnosni prostor.
Ako je Ω konačan skup elementarnih dogadaja, |Ω| = n,onda uredenu trojku ,P(Ω),P) zovemo n dimenzionalni diskretni vjerojatnosni prostor.

Definicija 3.5 (DOGAĐAJ)

Neka je ,F,P) vjerojatnosni prostor. Elemente od F zovemo dogadaji.

TEOREM 3.1 (svojstva funkcije P)

Neka je ,F,P) vjerojatnosni prostor. Tada za funkciju vjerojatnosti P vrijedi:
(a) P() = 0;
(b) Ai F,i ∈{1,...,n},Ai Aj = ,ij P( i=1nAi) = i=1nP(Ai) 

(svojstvo konačne aditivnosti);
(c) A,B F, A B P(A) P(B) (svojstvo monotonosti);
(d) A FP(Ac) = 1 - P(A);
(e) A,B FP(A B) = P(A) + P(B) - P(A B).

(f) An F,n , A1 A2 ... An,An = i=1nAi,

P(limn→∞An) = P( i=1Ai) = limn→∞P(An);

(svojstvo neprekidnost vjerojatnosti u odnosu na rastući niz);
(g) An F,n ,An An-1 ... A1,An = i=1nAi

P(limn→∞An) = P( i=1nAi) = limn→∞P(An),

(svojstvo neprekidnosti vjerojatnosti u odnosu na padajući niz);

Dokaz:
(a) Neka je A1 = Ω,Ai = ,i 2. Prema definiciji vjerojatnosti (P2)

   ∞        ∞                          ∞                ∞
P(⋃  A ) = ∑  P (A ) ⇒ P (Ω) = P(A  )+ ∑  P (∅) ⇒ 1 = 1+∑   P(∅) ⇒ P (∅) = 0.
       i          i                1
  i=1      i=1                        i=2               i=2
(b) Neka su Ai = ,i > n. Prema svojstvu (a) P(Ai) = . Koristeći definiciju vjerojatnosti (P2)

   ∞        ∞              n        n
P (⋃ A  ) = ∑  P(A ) ⇒ P (⋃  A ) = ∑  P (A  ).
       i           i          i           i
  i=1      i=1            i=1       i=1
(c) A B B = A (B\A). Prema svojstvu (b)
P (A ∪ (B\A )) = P (A)+ P(B \A) ⇒ P (B) = P (A)+ P (B \A).

Prema definiciji vjerojatnosti (P1) P(B\A) 0 P(B) P(A).
(d) Ω = A Ac,1 = P(A Ac) = P(A) + P(Ac).
(e) Uočimo slijedeće relacije A B = A (B\A), B = (A B) (B\A).
Prema svojstvu (b) računamo:
P(A B) = P(A (B\A)) = P(A) + P(B\A), i
P(B) = P((A B) (B\A)) = P(A B) + P(B\A).
Zaključujemo da je P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B).

tko želi znati više

(f) Za niz dogadaja A1 A2 ... An,An = i=1nAi, definiramo pomoćni niz dogadaja Bn F,n N na slijedći način:
B1 = A1,B2 = A2\A1,...,Bn = An\An-1.
Lako se provjeri da se dogadaji isključuju Bi Bj = ,ij, a An = i=1nBi.
Definirajmo A = limn→∞An = n=1Bn.
Prema definiciji vjerojatnosti (P2) P( n=1Bn) = n=1P(Bn),

                ∞∑               ∑n                      ⋃n
⇒ P ( lim  An) =    P (Bn) = lim     P(Bi) = (b) = lim  P (  Bi ) = lim  P(An ).
     n→ ∞       n=1         n→∞  i=1              n→ ∞   i=1      n→ ∞

tko želi znati više

(g) Za niz dogadaja An An-1 ... A1,An = i=1nAi, definiramo pomoćni niz dogadaja Cn F,n N na slijedeći način:
C1 = A1\A1 = , C2 = A1\A2,...,Cn = A1\An.
Lako se provjeri da je dobiven monotono rastući niz C1 C2 ... Cn Cn+1... i vrijedi i=1nCi = A1\An. i za An = i=1nAi,A = limn→∞An
n=1Cn = A1\A.
Prema definiciji (P2) i svojstvu (d) vrijedi: P(A1\A) = P( n=1Cn),
P(A1) - P(A) = limn→∞P(Cn) = limn→∞P(A1\An) = P(A1) - limn→∞P(An),
P(A) = limn→∞P(An).

NAPOMENA 3.1

Vjerojatnost je funkcija P : F[0,1].

NAPOMENA 3.2

Neka je Ω = {ω12,...,ωn} konačan skup elementarnih dogadaja koji su svi jednako vjerojatni, a ,P(Ω),P) vjerojatnosni prostor. Prema svojstvu normiranosti i zahtjevu da je vjerojatnost svakog elementarnog dogadaja jednaka:

P (Ω) = 1 ⇒ n ⋅P ({ω }) = 1 ⇒ P ({ω }) = 1.
                    i             i     n

Neka je dogadaj A = {ωi1i2,...,ωik}. Koristeći svojstvo konačne aditivnosti vjerojatnost dogadaja A P(Ω) je onda jednaka

        ∑                               1-   |A-|
P (A ) =      P({ωik}) = k ⋅P ({ωik}) = k ⋅n = |Ω |.
        ωik∈A
Uočimo da je P(A)= klasičnoj definiciji vjerojatnosti a priori.

PRIMJER 3.2

Bacamo dvije kocke. Kolika je vjerojatnost da će pasti jednaki brojevi ili paran produkt?

Rješenje: Prema svojstvu (e) A,B FP(A B) = P(A) + P(B) - P(A B), za dogadaj A =pali jednaki brojevi i dogadaj B = produkt brojeva koji su pali je paran broj računamo vjerojatnost P(A B) = 6-
36 + 27-
36 --3
36 = 30
36.

PRIMJER 3.3 Pokažite da vrijedi Ai F,i ∈ {1,2,3},P( i=13Ai) = i=13P(Ai) - P(A1 A2) - P(A1 A3) - P(A2 A3) + P(A1 A2 A3) 

Rješenje:
tko želi znati više

Koristimo svojstvo vjerojatnosti (e) A,B FP(AB) = P(A) + P(B) -P(AB) za A = A1,B = A2 A3

PRIMJER 3.4 motiv

(a) Tri bagerista su slučajno uzimali ključeve svojih strojeva iz kutije. Kolika je vjerojatnost da je bar jedan izabrao ključeve svog vozila?

tko želi znati više

(b)Ako je bilo n bagerista kolika je vjerojatnost da je bar jedan sjeo u svoj bager?

Rješenje: (a) Dogadaj Ai =i-ti bagerist je izabrao ključeve svog vozila, i = 1,2,3. Dogadaj B =bar jedan bagerist je izabrao ključeve svog vozila; tj. B = A1 A2 A3. P(B) = P(A1A2A3) = i=13P(Ai)-P(A1A2)-P(A1A3)-P(A2A3)+P(A1A2A3).
P(B) = 3 13 -12*3- -21⋅3- -21⋅3- + 13! = 23

tko želi znati više

(b) P(A1 ... An) = 1 -   n
n⋅((n2-)1) +      n
n⋅(n-(13))⋅(n-2) - ... + (-1)n n
(nn)!
P(B) = 1 - e-1 0.68,forn > 10.
Vjerojatnost je ista 0.68 ako je 11 bagerista ili ako je npr. 100 bagerista.

PRIMJER 3.5 motiv

Ako je vjerojatnost da jedne vrsta gume ima rok trajanja veći od 10000 km jednaka 0.95, kolika je vjerojatnost da će na autu
(a) sve gume trajati duže od 10000 km?
(b) barem jedna guma puknuti prije prdenih 10 000 km?

Rješenje:
Dogadaj A = jedna guma je prešla 10000 km; dogadaj B = sve četiri su prešle 10000 km, dogadaj C = bar jedna guma je pukla prije 10000 km; tj. C = Bc.
(a) P(A) = 0.95P(B) = P(A)4;
(b) P(C) = 1 - P(B) = 1 - 0.954.

3.1 Ponovimo

ALGEBRA DOGAĐAJA



Skup svih mogućih dogadajaP(Ω)


Familija dogadaja FP(Ω)


sigma algebra dogadaja F sa svojsvima


∅∈F


A FAc F


sadrži prebrojive unije dogadaja iz F


algebra dogadaja F ako je Ω konačan


AKSIOMATSKA definicija VJEROJATNOSTI



aksiomi vjerojatnosti


P(A) 0,A F


P(Ω) = 1


svojstvo prebrojive aditivnosti


vjerojatnost P : F[0,1]


vjerojatnosni prostor ,F,P)